» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] L'insieme di Cantor è un insieme perfetto

domenica, Aprile 9th, 2017

---

Ricordiamo che un insieme X è perfetto se ogni suo punto è di accumulazione per X e ogni punto di accumulazione è punto dell'insieme. In altri termini:

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

---

Teorema
L'insieme di Cantor è un insieme perfetto

---

Dimostrazione

Abbiamo visto che un qualunque x appartenente a C ammette un'espansione ternaria del tipo

I casi possibili sono:

Nel caso 1 definiamo

Al variare di n tale formula definisce la successione di elementi di R:

che è manifestamente convergente a x:

per cui applicando la definizione di limite

onde x è di accumulazione per C. L'asserto segue dall'arbitrarietà di x in C.
(altro…)

---

Posted in topologia | No Comments »

[¯|¯] Riepilogo parziale sull'insieme di Cantor

domenica, Aprile 9th, 2017

---

Per non perderci per strada cerchiamo di riepilogare i risultati raggiunti. Siamo partiti dall'insieme C₀:

ovvero dall'intervallo [0,1] o ciò che è lo stesso, il segmento i cui estremi hanno ascissa 0 e 1, appartenente alla retta reale.
Dividiamo tale segmento in tre parti di pari lunghezza ossia in tre segmenti di lunghezza 1/3, dopodiché rimuoviamo il segmento centrale e chiamiamo C₁ l'insieme ottenuto (che è l'unione di due intervalli disgiunti), come mostrato in figura:

Applichiamo lo stesso procedimento ai segmenti che compongono C₁, ottenendo quattro segmenti ciascuno di lunghezza 1/9, come vediamo dalla figura:

Una suddivisione ulteriore restituisce otto segmenti ciascuno di lunghezza 1/27, come appare dalla figura:

Ripetendo un numero infinito di volte tale operazione di suddivisione, otteniamo infiniti segmenti di lunghezza infinitesima, giacché la k-esima suddivisione restituisce 2^k segmenti ciascuno di lunghezza 3^-k Poniamo

per cui

(altro…)

---

Posted in topologia | No Comments »