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[¯|¯] L'insieme di Cantor quale Macchina ricorsiva topologica

giovedì, Aprile 13th, 2017

Scrivere un programma in ambiente Mathematica che "prende" un segmento di lunghezza unitario, lo divide in tre parti uguali e ne toglie quello di mezzo. Quindi riapplica il procedimento ai due "pezzi" rimasti, dopodichè riapplica il procedimento ai quattro pezzi rimasti, dopodiché riapplica il procedimento agli otto pezzi rimasti,
riapplica il procedimento ai 2^k pezzi rimasti.... all'infinito....

Sembra facile... In realtà qui entra in gioco il concetto di Macchina ricorsiva con la differenza che ora abbiamo una Macchina ricorsiva topologica. Infatti:
Consideriamo una funzione reale di una variabile reale

f è una legge che a ogni elemento x dell'insieme X associa univocamente il numero reale f(x) e che può essere schematizzata attraverso il diagramma orientato di fig. 1 in cui la variabile indipendente x si comporta alla stregua di un input che viene processato da f che a sua volta, emette l'output f(x). Per come abbiamo impostato la legge f, l'output f(x) è univocamente determinato dall'input x.

Ora immaginiamo di reindirizzare l'output f(x) all'ingresso, secondo lo schema del diagramma orientato di fig. 2.

Se impostiamo un valore iniziale x₀ dell'input, eseguendo n passi:

Notiamo che per un qualunque valore iniziale x, ciò equivale ad eseguire la composizione n-esima di f con se stessa, per cui abbiamo la funzione composta:

e quindi la successione di funzioni

dove

Tale procedura definisce una macchina ricorsiva. Se la funzione f verifica le ipotesi del teorema del punto fisso di Brouwer , si ha che la predetta successione converge a una funzione costante. Precisamente:

essendo ξ l'unica radice dell'equazione x=f(x). L'ambiente di calcolo Mathematica gestisce molto bene i processi ricorsivi attraverso l'istruzione Nest.

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Per quanto visto nei numeri precedenti, l'insieme di Cantor C è ottenuto tramite un procedimento ricorsivo. Infatti, osserviamo che C può essere scritto come:

dove

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[¯|¯] L'insieme di Cantor è un insieme perfetto

domenica, Aprile 9th, 2017

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Ricordiamo che un insieme X è perfetto se ogni suo punto è di accumulazione per X e ogni punto di accumulazione è punto dell'insieme. In altri termini:

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

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Teorema
L'insieme di Cantor è un insieme perfetto

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Dimostrazione

Abbiamo visto che un qualunque x appartenente a C ammette un'espansione ternaria del tipo

I casi possibili sono:

Nel caso 1 definiamo

Al variare di n tale formula definisce la successione di elementi di R:

che è manifestamente convergente a x:

per cui applicando la definizione di limite

onde x è di accumulazione per C. L'asserto segue dall'arbitrarietà di x in C.
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