[¯|¯] L'insieme di Cantor e la rappresentazione in base 3
Aprile 7th, 2017 | by Marcello Colozzo |Dal momento che nella costruzione dell'insieme di Cantor entrano in gioco intervalli di ampiezza 1/3k, si ha che tale insieme deve essere in qualche modo collegato alla rappresentazione dei reali x appartenenti all'aperto (0,1) in base 3. Infatti l'espansione in base 3 di x del predetto intervallo si scrive:
essendo in generale
dove b>1 è la base della rappresentazione. Se b=10 si ha per così dire l'espansione usuale, cioè in base 10
Esempio
onde
Esempio
Scriviamo la rappresentazione in base 3 del numero periodico 0.020202...
Ma
per cui
In che modo l'insieme di Cantor è collegato all'espansione in base 3? Per rispondere a questa domanda guardiamo il procedimento ricorsivo che restituisce il k-esimo insieme Ck:
Per k=1
Se osserviamo gli estremi dell'intervallo rimosso, cioè i punti 1/3 e 2/3, ci rendiamo conto che
Cioè nella rappresentazione in base 3, al primo step (k=1) rimuoviamo l'intervallo aperto di estremi (0.1)3,(0.2)3. Il secondo step ricorsivo (k=2) restituisce l'insieme
Qui vediamo che sono stati rimossi gli intervalli aperti
Ma
cioè dobbiamo aggiungere (0.2)3
Allo stesso modo per l'altro estremo
Quindi al secondo step vengono rimossi gli intervalli aperti di estremi
come illustrato in figura 1.
Riassumendo: al primo passo vengono rimossi tutti i punti
Al secondo passo:
e così via
In definitiva
Ne concludiamo che l'insieme di Cantor contiene l'insieme dei reali x in [0,1] la cui espansione ternaria non contiene 1.
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Tags: insieme di cantor, rappresentazione in base 3, rappresentazione ternaria
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