[¯|¯] L'insieme di Cantor è un insieme di misura nulla

Aprile 6th, 2017 | by Marcello Colozzo |

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo



Nella lezione precedente abbiamo definito una procedura ricorsiva che restituisce l'insieme:

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Ricordiamo che gli intervalli Ij(k) sono ricorsivamente assegnati dalle formule

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Abbiamo quindi la seguente definizione
Definizione
L'insieme
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

si chiama
insieme di Cantor.
È immediata la proposizione:
Proposizione
L'insieme di Cantor è chiuso
Dimostrazione

Dall'espressione di Ck vediamo che Ck è chiuso, in quanto unione di insiemi chiusi. L'asserto segue dagli assiomi di spazio topologico, in quanto C è l'intersezione di una famiglia (infinita) di chiusi.
c.d.d.









Poniamo per definizione

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Per quanto visto l'ampiezza di ciascun intervallo è indipendente da j:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

La formula di ricorrenza si riscrive:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

da cui si ricava facilmente:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Proposizione

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Dimostrazione

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

dove

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

mentre
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Quindi:
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Segue

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

onde l'asserto.
c.d.d.
Teorema
L'insieme di Cantor è un insieme di misura nulla
Dimostrazione
Riprendiamo l'espressione
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Gli intervalli Ij(k) sono a due a due disgiunti, per cui

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Cioè
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

e
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Per k->+oo

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Segue
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

onde l'asserto.
c.d.d.


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