» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Topologia discreta. Un esempio di spazio di Hausdorff. Il vuoto è uno spazio di Hausdorff?

Aprile 2nd, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Premessa. Omeomorfismi

Nella lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di spazio di Hausdorff e di varietà topologica. È essenziale costruire degli esempi, altrimenti si rischia di enunciare proprietà e teoremi che sembrano "campati in aria". Premettiamo la seguente definizione:

Definizione
Comunque prendiamo un insieme S, la topologia

si dice topologia discreta

Ad esempio, se S è l'insieme

si ha

In questo esempio vediamo che gli aperti dello spazio topologico

si esprimono come unione di

Infatti

Ciò suggerisce di definire l'insieme

che chiamiamo base degli aperti per lo spazio topologico assegnato. Vediamo ora di determinare gli intorni di un punto

Per definizione U_x è un intorno di x, se x è interno a U_x. Nel nostro caso se ad esempio

dobbiamo trovare un aperto (quindi un elemento di Θ_d) contenuto in U_x e contenente X. Abbiamo quindi la lista:

che è l'insieme di tutti e soli gli intorni del predetto punto x. Scriviamo

Lo stesso procedimento va applicato agli altri punti dell'insieme che stiamo studiando. Ad esempio, se x'=π

Dal momento che ogni elemento della singola lista è un intorno del punto assegnato, possiamo assumere

Cioè assumiamo come intorno di x l'insieme costituito dal punto medesimo. Segue

Alla stessa conclusione per i rimanenti punti

Ne consegue che lo spazio topologico

è uno spazio di Hausdorff. Si noti che tale conclusione si generalizza a un qualunque spazio topologico con topologia discreta. Cioè (S,P(S)) è uno spazio di Hausdorff, comunque prendiamo l'insieme S. Nel caso dell'insieme vuoto:

Cioè l'insieme vuoto assume la struttura di spazio topologico con topologia discreta. Tale spazio è privo di elementi (e l'unico aperto è l'insieme il cui unico elemento è il vuoto) per cui non possiamo chiederci se sia uno spazio di Hausdorff.

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Tags: aperti, intorni, spazio di hausdorff, topologia discreta

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