[¯|¯] Topologia discreta. Un esempio di spazio di Hausdorff. Il vuoto è uno spazio di Hausdorff?

Aprile 2nd, 2017 | by Marcello Colozzo |

spazio di Hausdorff,topologia discreta,intorni, aperti



Premessa. Omeomorfismi

Nella lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di spazio di Hausdorff e di varietà topologica. È essenziale costruire degli esempi, altrimenti si rischia di enunciare proprietà e teoremi che sembrano "campati in aria". Premettiamo la seguente definizione:

Definizione
Comunque prendiamo un insieme S, la topologia

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si dice
topologia discreta


Ad esempio, se S è l'insieme

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si ha
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In questo esempio vediamo che gli aperti dello spazio topologico

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si esprimono come unione di

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Infatti

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Ciò suggerisce di definire l'insieme

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che chiamiamo base degli aperti per lo spazio topologico assegnato. Vediamo ora di determinare gli intorni di un punto
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Per definizione Ux è un intorno di x, se x è interno a Ux. Nel nostro caso se ad esempio
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dobbiamo trovare un aperto (quindi un elemento di Θd) contenuto in Ux e contenente X. Abbiamo quindi la lista:

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che è l'insieme di tutti e soli gli intorni del predetto punto x. Scriviamo
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Lo stesso procedimento va applicato agli altri punti dell'insieme che stiamo studiando. Ad esempio, se x'=π
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Dal momento che ogni elemento della singola lista è un intorno del punto assegnato, possiamo assumere
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Cioè assumiamo come intorno di x l'insieme costituito dal punto medesimo. Segue
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Alla stessa conclusione per i rimanenti punti
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Ne consegue che lo spazio topologico

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è uno spazio di Hausdorff. Si noti che tale conclusione si generalizza a un qualunque spazio topologico con topologia discreta. Cioè (S,P(S)) è uno spazio di Hausdorff, comunque prendiamo l'insieme S. Nel caso dell'insieme vuoto:

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Cioè l'insieme vuoto assume la struttura di spazio topologico con topologia discreta. Tale spazio è privo di elementi (e l'unico aperto è l'insieme il cui unico elemento è il vuoto) per cui non possiamo chiederci se sia uno spazio di Hausdorff.



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