[¯|¯] Topologia discreta. Un esempio di spazio di Hausdorff. Il vuoto è uno spazio di Hausdorff?

domenica, Aprile 2nd, 2017

spazio di Hausdorff,topologia discreta,intorni, aperti

Premessa. Omeomorfismi

Nella lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di spazio di Hausdorff e di varietà topologica. È essenziale costruire degli esempi, altrimenti si rischia di enunciare proprietà e teoremi che sembrano "campati in aria". Premettiamo la seguente definizione:

Definizione
Comunque prendiamo un insieme S, la topologia

spazio di Hausdorff,topologia discreta,intorni, aperti

si dice topologia discreta

Ad esempio, se S è l'insieme

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si ha
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[¯|¯] Premesse topologiche

sabato, Aprile 1st, 2017

spazio topologico,topologia,aperti,topologia banale

Fig. 1. Copertina del saggio La mente e l'infinito del matematico Rudy Rucker.

A un qualunque insieme S possiamo univocamente associare l'insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di S. Denotando con P(S) tale insieme, si ha:

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Definizione
Chiamiamo P(S) insieme delle parti di S.
L'insieme della parti di S è "strutturalmente" più complicato di S. Ad esempio, consideriamo l'insieme il cui unico elemento è la lettera a:
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I sottoinsiemi di S sono:
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onde
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Aggiungiamo un elemento:
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i cui sottoinsiemi sono
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Quindi
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Se S è il vuoto? Cioè
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Segue
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ovvero l'insieme delle parti del vuoto è l'insieme il cui unico elemento è il vuoto. Viceversa
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Proposizione

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Dimostrazione
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c.d.d.
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