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Non invertibilità del Teorema di Lagrange

giovedì, Novembre 19th, 2020

teorema di lagrange,posizioni di equilibrio stabile,energia potenziale


In precedenza, abbiamo dimostrato il Teorema di Lagrange che rappresenta un importante criterio per la stabilità (secondo Lyapunov) di una posizione di equilibrio per un sistema conservativo. Osserviamo tuttavia, che si tratta di una condizione sufficiente ma non necessaria. Il controesempio che proponiamo mostra infatti, l'esistenza di funzioni V(x) (energia potenziale) di classe C^oo ma non analitiche, le quali ammettono punti di equilibrio stabile ma che non sono di minimo relativo per V(x).
La condizione espressa dal teorema di Lagrange diviene necessaria e sufficiente, se si aggiunge l'ipotesi di analiticità dell'energia potenziale.
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Zeri semplici dell'energia potenziale (in funzione dell'ascissa)

venerdì, Novembre 13th, 2020

zeri semplici,energia potenziale,regione classicamente accessibile


Nei casi di interesse fisico, la regione accessibile Λ(E) è l'unione di un numero finito di intervalli. Ad esempio, per una particella soggetta a una forza elastica con costante k=2 (in unità adimensionali), l'energia potenziale è


Per m=2 (massa della particella) e E=1 (energia meccanica totale), si ha

per cui la regione accessibile è [-1,1], i cui estremi sono zeri semplici per f(x):

Gli zeri semplici sono, dunque, i punti di frontiera della zona accessibile. Mostriamo che essi sono raggiunti in un tempo finito.

Corollario


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