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[¯|¯] Interpretazione cinematica di una curva regolare

Marzo 29th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Da un punto di vista cinematico una curva regolare è una traiettoria dello spazio fisico R³ percorsa in tutti i modi possibili (i.e. con tutte le velocità possibili). Infatti, comunque prendiamo due rappresentazioni equivalenti x(t) e x_*(t) di una curva regolare Γ, si ha:

definiscono le velocità vettoriali di due punti materiali P₁ e P₂ che descrivono la stessa traiettoria Γ con leggi orarie diverse. Il punto P₁:

mentre le coordinate cartesiane x,y,z del punto P₂ seguono le leggi orarie:

Ad esempio, consideriamo in R² la rappresentazione parametrica:

Riesce:

Cioè la rappresentazione parametrica assegnata rappresenta il segmento di estremi O(0,0) e A(1,1) del piano cartesiano. Tale rappresentazione parametrica definisce le equazioni orarie:

di un punto materiale P₁ che si muove sul segmento OA. La sua velocità è:

Cioè il moto è rettilineo ed uniforme, giacché la velocità è un vettore costante di modulo (in unità adimensionali):

Ora consideriamo le infinite rappresentazioni parametriche

ottenute tramite le riparametrizzazioni

La generica g_n(τ) definisce una sostituzione di parametro ammissibile nell'intervallo semiaperto a sinistra (0,1] e non nell'intervallo [0,1] in quanto risulta

È facile persuadersi che ciascuna rappresentazione x_n(τ) è equivalente in (0,1] alla x(t). Inoltre, per un assegnato intero naturale n>1, la b>x_n(τ) definisce il moto di un punto materiale P_n che si muove sul segmento OA con equazioni orarie:

Quindi con velocità

che non è più costante. Abbiamo, cioè, una famiglia di moti rettilinei ma non uniformi:

visualizzabili attraverso l'animazione grafica di fig. 1 (top di questa pagina).

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Tags: curva regolare, moto rettilineo ed uniforme, traiettoria, velocità

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