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Corollario a un teorema notevole

venerdì, Dicembre 18th, 2020

curva regolare, retta,curvatura

Corollario (al teorema)
Sia γ:x=x(t) di classe C^(p > = 2).
Il sistema di vettori


è per ogni t linearmente dipendendente se e solo se γ è una retta.


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Una curva regolare può avere una rappresentazione parametrica non regolare?

giovedì, Dicembre 17th, 2020

curva regolare,rappresentazione parametrica regolare,rappresentazione parametrica non regolare
Fig. 1

La risposta è sì. Ad esempio, consideriamo in R² la semicirconferenza di raggio unitario centrata nell'origine e tracciata nel semipiano xy. Una rappresentazione parametrica regolare è


Tuttavia, il medesimo luogo geometrico esibisce quest'altra rappresentazione parametrica:


che è non regolare. Infatti, la derivata prima ha una discontinuità di seconda specie agli estremi dell'intervallo base.

come illustrato in fig. 1.

Ne concludiamo che esistono infinite rappresentazioni parametriche non regolari di un'assegnata curva regolare. In altri termini, la non regolarità di una rappresentazione parametrica è condizione necessaria ma non sufficiente per la non regolarità di una curva.
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