[¯|¯] Curve piane in forma implicita

Marzo 30th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Riprendiamo il Fasano - Marmi (Meccanica Analitica) a pag. 4

curva piana in forma implicita,teorema del dini, curva regolare

Nella definizione 1.2 bisognerebbe aggiungere l'appartenenza della funzione vettoriale x(t) alla classe C1. Ciò è una conseguenza del Teorema del Dini. Infatti, procedendo in generale:
Una curva piana Γ può essere "implicitamente" rappresentata da un'equazione:
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dove
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essendo A un insieme aperto (campo) di R². In altri termini, la curva Γ è l'intersezione del grafico della funzione F(x,y) con il piano coordinato xy. In alcuni casi possiamo "forzare" la variabile y esprimendola in funzione di x, utilizzando il Teorema del Dini.








A tale scopo consideriamo un punto P0(x0,y0) di Γ, per cui

curva piana in forma implicita,teorema del dini, curva regolare

Per il teorema del Dini se F è di classe C1(A):
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e
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Si noti che tale espressione si ottiene nel seguente modo
curva piana in forma implicita,teorema del dini, curva regolare

Il teorema del Dini fornisce, dunque, una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché una curva in forma implicita sia localmente esprimibile come il grafico di una funzione reale di una variabile reale (di classe C¹):

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Analoga conclusione per ciò che riguarda la possibilità di esplicitare la variabile x:
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In termini vettoriali, dopo aver rammentato l'espressione dell'operatore gradiente in R²:
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si ha:
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Se risulta
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in un intorno di x0=(x0,y0), la curva Γ si identifica con il grafico di una funzione reale di x o di y. Più precisamente:
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In entrambi i casi si tratta di funzioni di classe C¹ sui rispettivi intorni. Senza perdita di generalità, supponiamo
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Poniamo
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da cui la rappresentazione parametrica dell'arco appartenente a Γ
curva piana in forma implicita,teorema del dini, curva regolare

Per il teorema del Dini la funzione y(t) è di classe C¹, e tale sarà la funzione vettoriale x(t):

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Inoltre:
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da cui la regolarità della rappresentazione parametrica locale x(t).



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