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[¯|¯] Ambiguità nella definizione di curva regolare

Marzo 28th, 2017 | by Marcello Colozzo |

curva,rappresentazione parametrica regolare,derivata,retta tangente

Fig. 1.


Dal Fasano - Marmi (Meccanica Analitica) a pag. 4 (definizione 1.2):

curva,rappresentazione parametrica regolare,derivata,retta tangente

Una curva C i cui punti sono tutti non singolari si dirà curva regolare.
Dalla definizione 1.1:


Una curva C i cui punti sono tutti non singolari si dirà curva regolare.

In geometria differenziale per curva regolare si intende una curva liscia che non si spezza. "Liscia" vuol dire che è priva di spigoli, mentre "non si spezza" significa che non ha interruzioni. In meccanica analitica/razionale e più in generale in fisica, la regolarità è vitale. Ad esempio, nel caso di una curva spigolosa la velocità di una particella presenta una discontinuità finita nei punti angolosi, il che si traduce in una accelerazione infinita. Allo stesso modo non sono accettabili interruzioni se la traiettoria di una particella si interrompe, la particella medesima "sparisce" da un estremo dell'interruzione per "ricomparire" nell'altro (particella fantasma 😀 ) o ciò che è lo stesso, la particella percorre il tratto tra le due estremità a velocità infinita violando, in tal modo, uno dei postulati della Relatività Speciale.
Ciò premesso, la definizione fornita dal Fasano-Marmi sembra non essere completa. Infatti, come abbiamo visto nel
post il non annullarsi simultaneo delle derivate di x(t),y(t),z(t) è una condizione sufficiente ma non necessaria.










Prendiamo l'esempio della seguente curva piana di rappresentazione parametrica:

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Cioè

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da cui le derivate

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Segue

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Quindi per il Fasano-Marmi la curva assegnata è non regolare, giacché ha una singolarità nel punto corrispondente al valore t0=0 del parametro, cioè nel punto A(0,1). Tale singolarità nasce dal fatto che la curva in questione è priva di retta tangente in A. Ma questo non è vero. Infatti, eliminando il parametro t dalle equazioni parametriche, si ha:

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cioè la curva che stiamo considerando è il grafico della funzione f(x). E questa curva è regolare. Più precisamente, è dotata di retta tangente in ogni suo punto, compreso A. Infatti:

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Per cui la tangente in P0(x0,f(x0)) ha equazione

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dove
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Nel punto A(0,1) il coefficiente angolare della tangente è
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Ne concludiamo che la retta tangente alla curva nel punto A è:
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come vediamo dal grafico di fig 1.
Diversamente:

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per cui
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Ma
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in accordo con il risultato precedente.
Conclusione
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Più precisamente, nel caso di una curva piana l'annullarsi simultaneo delle derivate di x(t),y(t) in t0 implica che il rapporto
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si presenta nella forma indeterminata 0/0, per cui va eseguita l'operazione di passaggio al limite:
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Se il limite è finito esiste la retta tangente. Se è ±oo può aversi un punto di flesso a tangente verticale (quindi la tangente esiste) oppure un punto cuspidale.


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