» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Interpretazione cinematica di una curva regolare

mercoledì, Marzo 29th, 2017

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Da un punto di vista cinematico una curva regolare è una traiettoria dello spazio fisico R³ percorsa in tutti i modi possibili (i.e. con tutte le velocità possibili). Infatti, comunque prendiamo due rappresentazioni equivalenti x(t) e x_*(t) di una curva regolare Γ, si ha:

definiscono le velocità vettoriali di due punti materiali P₁ e P₂ che descrivono la stessa traiettoria Γ con leggi orarie diverse. Il punto P₁:

mentre le coordinate cartesiane x,y,z del punto P₂ seguono le leggi orarie:

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[¯|¯] Moto su un piano inclinato liscio

lunedì, Marzo 13th, 2017

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Un punto materiale di massa m, posto ad un'altezza h dal suolo si muove partendo da fermo, lungo un piano inclinato privo di attrito e formante un angolo a con l'orizzontale (cfr. fig. 1).
Si dimostri che la velocità con cui il punto arriva alla base del piano inclinato dipende solo da h.

Soluzione

Fissiamo un riferimento cartesiano come in fig. 1, dove l'origine è la posizione iniziale (a t=0) del punto materiale, la cui forza peso ha la seguente rappresentazione cartesiana:

essendo i e j i versori degli assi coordinati. La reazione vincolare R_N è equilibrata dalla componente di mg nella direzione dell'asse y:

Per la seconda legge di Newton

Cioè

da cui l'unica equazione scalare (i.e. il moto è unidimensionale):

equivalente a

Dalla fig. 1:

dove d è l'ascissa della base A del piano inclinato i.e. la distanza totale percorsa dal punto. Quindi

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