[¯|¯] Verso una numerizzazione dello spazio

lunedì, Aprile 3rd, 2017

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Le difficoltà che si incontrano nello studio della Geometria differenziale e più in generale della Topologia, sono a nostro avviso riconducibili a una difficile visualizzazione dei concetti esposti. Fino a quando si lavora con Enti geometrici del tipo punto, curva, superficie, etc, la nostra percezione visiva ci aiuta a raggiungere una comprensione profonda di tali oggetti. La Topologia, invece, astrae da tali Enti per magari riconsiderarli come caso particolare, ricostruendo efficacemente i risultati dell'Analisi. Al contempo, è presente un tentativo di numerizzazione di Enti comunque astratti. A un livello per così dire, fondamentale, si presentano i casi già noti dell'Analisi, vale a dire lo spazio euclideo Rⁿ e relativi oggetti ivi definiti come applicazioni, omeomorfismi, diffeomorfismi, etc. In tale livello l'identificazione dei punti con i numeri è immediata. Basti pensare all'introduzione dei riferimenti cartesiani, i quali ci permettono di "etichettare" i singoli punti con i numeri reali. In tal modo una qualunque retta si identifica con lo spazio euclideo R¹. Basta infatti assegnare un riferimento cartesiano R(Ox), per cui la variabile reale

ci permette di etichettare ogni punto con un numero reale. In questa lezione abbiamo visto come dotare Rⁿ di una struttura topologica. Più specificatamente, nello spazio R¹ con la topologia euclidea gli aperti sono (oltre a R¹ e al vuoto Ø) gli intervalli del tipo (a,b) con a,b reali e a0 è:

dove δ>0 può essere preso arbitrariamente piccolo. Tutto ciò esibisce una estensione immediata a Rⁿ, per ogni intero naturale n=1. Quando invece passiamo a considerare insiemi qualsiasi i cui elementi non sono punti nel senso geometrico del termine, l'unico modo per "geometrizzarli" consiste nel cercare di stabilire una qualche corrispondenza biunivoca con Rⁿ. Infatti, nella definizione di varietà topologica abbiamo richiesto l'esistenza di una legge che ad aperti di un assegnato spazio di Hausdorff faccia corrispondere aperti di Rⁿ e viceversa. In tale definizione si apre il problema della determinazione dell'intero naturale n, ovvero della dimensione della varietà topologica che stiamo esaminando. Diciamo per ora che si tratta di un problema che richiede una condizione più forte di quella di spazio di Hausdorff. E ci aspettiamo che l'intero n dipenda dal "punto" considerato; tale circostanza restituisce uno spazio a dimensione variabile, ovvero un ente completamente anti-intuitivo.
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[¯|¯] Omeomorfismi, spazi di Hausdorff. Varietà topologica

sabato, Aprile 1st, 2017

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Premessa. Omeomorfismi

In precedenza abbiamo lavorato sullo spazio Rⁿ, dotandolo di una struttura di spazio vettoriale topologico. In questo post vogliamo generalizzare tale nozione, nel senso che ci riferiremo a un generico spazio topologico e non necessariamente a Rⁿ, per cui è necessario rammentare le nozioni basilari di topologia, prima tra tutte il concetto di omeomorfismo, che nel caso particolare di Rⁿ, si definisce nel seguente modo:
Definizione
Se A è un sottoinsieme di Rⁿ un'applicazione

è un omeomorfismo se φ è continua in A ed è ivi dotata di inversa continua in φ(A) (contenuta ovviamente in Rⁿ. In tal caso si dice che i sottoinsiemi di Rⁿ

sono omeomorfi.
Esempio
Nello spazio vettoriale topologico R¹ consideriamo l'applicazione

così definita:
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φ(x) è continua in (-π/2,π/2) ed è ivi dotata di inversa continua in R¹:

Ne concludiamo che tanx è un omeomorfismo da (-π/2,π/2) a R¹, onde l'aperto (-π/2,π/2) è omeomorfo a R¹ attraverso tanx.

Spazi di Hausdorff. Varietà topologica

Dando per scontata la nozione di intorno di un punto p appartenente a uno spazio topologico(S,Θ), definiamo:
Definizione
Uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico (S,Θ) tale che