Pendolo balistico

mercoledì, Marzo 3rd, 2021

Nel caso di un urto anelastico, il sistema costituito dai corpi collidenti non conserva l'energia cinetica. Per un urto normale centrale anelastico di due sfere (di massa m1 e m2) abbiamo una sola equazione che regola la dinamica unidimensionale dell'urto:

In particolare, se l'urto è perfettamente anelastico:

giacché dopo l'urto le due sfere traslano come un'unico sistema alla velocità V. Se una delle sfere è ferma:

Riesce

Fisicamente significa che se un corpo urta contro un ostacolo massivo (fermo), il corpo urtante ci si conficca arrestandosi. Nello specifico, consideriamo il pendolo balistico che permette di determinare la velocità di un proiettile. È un sistema costituito da un corpo massivo (di massa m2) estremamente deformabile (ad es., un sacco di sabbia) sospeso mediante una fune ideale di lunghezza l, ad un punto fisso C (fig. 1). Un proiettile (massa m2 < < m1) viene sparato a velocità v1 contro il sacco e si conficca in esso. Se il periodo T del pendolo è molto più grande della durata τ dell'urto, è lecito ritenere il pendolo in quiete durante τ. Ne segue che v2=0, per cui possiamo applicare l'equazione scritta più sopra che riscriviamo:

che è la velocità del sistema proiettile+sacco, subito dopo l'urto. In seguito a tale velocità il centro di massa del sistema raggiunge una quota H tale che l'energia cinetica è convertita in energia potenziale del campo di gravità:

da cui

Dalla fig. 1 H=l(1-cosθ)

che confrontata con l'eq. scritta più sopra ci permette di ricavare la velocità del proiettile:

a patto di misurare l'angolo di deviazione θ. Ad esempio:

Quindi

L'energia cinetica iniziale del sistema è quella del proiettile in quanto il sacco è in quiete:

L'energia cinetica subito dopo l'urto è

da cui vediamo che quasi tutta l'energia cinetica è dissipata in calore.

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Classificazione degli urti

lunedì, Marzo 1st, 2021

urto elastico,urto anelastico,urto completamente anelastico,urto normale centrale — **Fig. 1**

Urti elastici; urti anelastici; urti completamente anelastici

Un urto si dice elastico se conserva l'energia meccanica E=T+V del sistema costituito dai corpi collidenti. Siccome l'energia poteneziale V determina le forze esterne che per quanto detto in precedenza, possono essere trascurate, ci si riferisce esclusivamente alla conservazione dell'energia cinetica. Viceversa, un urto che non conserva l'energia cinetica, si dice anelastico. In questo caso parte dell'energia cinetica viene convertita in altre forme di energia.
Un urto si dice completamente anelastico se i corpi collidenti procedono come un tutt'uno dopo l'urto. Si badi che ciò non implica una totale conversione dell'energia cinetica in energia di altra forma. La configurazione finale è univocamente determinata dalla conservazione della quantità di moto.

Sistema di riferimento del laboratorio. Sistema di riferimento del centro di massa

Nello studio di un processo d'urto è implicita l'istituzione di un opportuno sistema di riferimento inerziale. Solitamente, ci si riferisce a una terna legata al laboratorio che con buona approssimazione, è un sistema inerziale. Tuttavia, siccome le forze esterne sono trascurabili, ne segue che il centro di massa del sistema costituito dai corpi collidenti compie un moto rettilineo ed uniforme. Quindi potrebbe essere utile riferirsi a una terna inerziale in cui il centro di massa è in quiete.

Urto normale centrale

È il caso ideale di un urto tra due sfere lisce e non rotanti su se stesse. Le sfere si avvicinano lungo la retta congiugente i centri delle sfere, con velocità assegnate. In queste condizioni ci aspettiamo che la forza interna scambiata nell'urto sia diretta lungo la predetta congiungente. Ne segue una dinamica unidimensionale. Orientiamo, quindi, un asse x per il centro delle due sfere (fig. 1) di massa m1 e m2 rispettivamente. Denotiamo con caratteri minuscoli le grandezze cinematiche prima dell'urto, e con caratteri maiuscolo le medesime grandezze dopo l'urto.
Il principio di conservazione della quantità di moto implica:

Proiettando sull'asse x

con l'avvertenza che i moduli delle singole grandezze vettoriali vanno presi con il segno. Segue

Se l'urto è elastico:

Cioè

Dividendo membro a membro le equazioni scritte sopra

o ciò che è lo stesso

Ne segue che l'urto elastico conserva il modulo della velocità relativa. Le velocità dopo l'urto sono le soluzioni del sistema di equazioni lineari:

Risolvendo

Esaminiamo alcuni casi particolari.
a) m1=m2

Cioè se le sfere hanno la stessa massa, si scambiano le velocità.
b) Una delle sfere è ferma, ad esempio la seconda: v2=0

Se in particolare m1=m2 allora V1=0,V2=v1. Cioè la sfera urtante si ferma mentre la sfera urtata inizia a muoveri con la velocità della sfera urtante. Ciò si verifica, ad esempio, con le biglie di un biliardo.
Se m2 è molto più grande di m1 allora V1 è circa pari a v1,mentre V2=0. Vedremo in seguito che tale processo d'urto è noto come riflessione meccanica. Si pensi, ad esempio, a una palla da tennis che rimbalza su una parete o a una molecola di un gas che urta le pareti del recipiente.
Viceversa, se m1 è molto più grande di m2 allora V1=v1,V2=2v1. In tal caso la particella massiva conserva la propria velocità, mentre la particella leggera viene lanciata a velocità doppia. Si pensi al gioco delle bocce, quando una boccia colpisce il boccino fermo.

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