[¯|¯] Funzioni ricorsivamente convergenti

giovedì, Febbraio 9th, 2017

L'esercizio precedente si presta ad una ulteriore generalizzazione, introducendo le nozioni di ricorsione e di convergenza ricorsiva. In realtà abbiamo già affrontato tale problema in .

Modifichiamo, aggiungendo ricorsività, il predetto esempio nel modo che segue

dove φ(x) è una funzione assegnata, infinitesima in x=0 e derivabile in un intorno di tale punto un numero "sufficiente" di volte in modo da poter applicare la regola di De L'Hospital in modo da risolvere la forma indeterminata 0/0. Esplicitando alcuni valori di n:

Definizione
La funzione

è, per x->0, ricorsivamente convergente se

Ciò equivale a dire che per x->0

è un infinitesimo di ordine 3, per ogni intero naturale non nullo n.

Nel caso della funzione φ(x)=tan(x), proponiamo la dimostrazione di Davide Lombardi.

Tale tipo di convergenza può essere studiata attraverso l'ausilio di un software del tipo Mathematica. Ad esempio, possiamo porre

cosicché il limite si scrive
limiti,Funzioni ricorsivamente convergenti,Funzioni ricorsivamente divergenti,ricorsività locale

dopodiché si cerca di applicare la regola di De L'Hospital. Tuttavia, per come abbiamo definito la convergenza ricorsiva, il limite deve essere calcolato per ogni n, cosa ovviamente impossibile. Al più, si potrebbe ricorrere a un procedimento di tipo induttivo vincolato, ovviamente, alla funzione φ(x). Ad esempio, per φ(x)=tanx, Mathematica restituisce i seguenti risultati: