[¯|¯] Moto su un piano inclinato liscio
lunedì, Marzo 13th, 2017Un punto materiale di massa m, posto ad un'altezza h dal suolo si muove partendo da fermo, lungo un piano inclinato privo di attrito e formante un angolo a con l'orizzontale (cfr. fig. 1).
Si dimostri che la velocità con cui il punto arriva alla base del piano inclinato dipende solo da h.
Soluzione
Fissiamo un riferimento cartesiano come in fig. 1, dove l'origine è la posizione iniziale (a t=0) del punto materiale, la cui forza peso ha la seguente rappresentazione cartesiana:
essendo i e j i versori degli assi coordinati. La reazione vincolare RN è equilibrata dalla componente di mg nella direzione dell'asse y:
Per la seconda legge di Newton
Cioè
da cui l'unica equazione scalare (i.e. il moto è unidimensionale):
equivalente a
Dalla fig. 1:
dove d è l'ascissa della base A del piano inclinato i.e. la distanza totale percorsa dal punto. Quindi
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