» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Moto su un piano inclinato liscio

lunedì, Marzo 13th, 2017

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Un punto materiale di massa m, posto ad un'altezza h dal suolo si muove partendo da fermo, lungo un piano inclinato privo di attrito e formante un angolo a con l'orizzontale (cfr. fig. 1).
Si dimostri che la velocità con cui il punto arriva alla base del piano inclinato dipende solo da h.

Soluzione

Fissiamo un riferimento cartesiano come in fig. 1, dove l'origine è la posizione iniziale (a t=0) del punto materiale, la cui forza peso ha la seguente rappresentazione cartesiana:

essendo i e j i versori degli assi coordinati. La reazione vincolare R_N è equilibrata dalla componente di mg nella direzione dell'asse y:

Per la seconda legge di Newton

Cioè

da cui l'unica equazione scalare (i.e. il moto è unidimensionale):

equivalente a

Dalla fig. 1:

dove d è l'ascissa della base A del piano inclinato i.e. la distanza totale percorsa dal punto. Quindi

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[¯|¯] Esercizio 1284. Moto di un punto materiale lungo la curva di intersezione di un paraboloide con un cilindro

venerdì, Agosto 21st, 2009

Un punto materiale si muove lungo la curva di intersezione del paraboloide z=(x^2)/16-(y^2)/9 con il cilindro x^2 + y^2 = 5, in modo tale che dx/dt = 0.2 cm/ s. Determinare dz/dt quando il punto ha ascissa x = 2.

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