Il problema di Keplero (parte prima)

martedì, Marzo 30th, 2021

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Nel problema di Keplero abbiamo un campo centrale di energia potenziale:

Quindi l'energia potenziale efficace è

La soluzione dell'equazione delle orbite (scritta nella cosiddetta "prima forma") si esprime come:

La regione classicamente accessibile è

Per esplicitare tale regione, studiamo innanzitutto la funzione V_eff(r). Determiniamo gli eventuali zeri:

Per questo teorema le orbite circolari risolvono

a cui corrisponde un punto di minimo relativo per la funzione V_eff(r)

L'andamento del potenziale efficace è graficato in fig.

A questo punto, appare chiaro che affinché la particella compia un moto limitato (i.e. si trova in uno stato legato), l'energia meccanica deve essere negativa. Più precisamente:

dove gli estremi dell'intervallo sono le radici dell'equazione E=V_eff(r), come vediamo dalla fig.

L'equazione da risolvere è molto semplice (di secondo grado):

Cioè

Rammentando l'espressione di E_c (energia meccanica nel moto circolare)

Ne segue che l'orbita è contenuta nella corona circolare di centro l'origine e raggi r_min e r_max. Per conoscere l'andamento dobbiamo calcolare l'integrale che compare nell'espressione di φ(r). È un bel lavoro! Quindi preferiamo passare alla seconda forma dell'equazione delle orbite:

Abbiamo innanzitutto:

Quindi siamo in presenza di una semplice equazione differenziale lineare del secondo ordine e a coefficienti costanti (non omogenea):

Applichiamo il procedimento standard per ricavare l'integrale generale, ossia ricerchiamo un integrale particolare, come ad esempio

per cui la costante p (da non confondere con la quantità di moto!) è

A questo integrale particolare dobbiamo sommare l'integrale generale dell'omogenea associata

essendo A,B costanti di integrazione. Quindi l'integrale generale della nostra equazione è

Per rendere più maneggevole questa espressione, scriamo le costanti di integrazione nella forma:

essendo φ₀ l'angolo polare (anomalia) iniziale, mentre ε > = 0 è un parametro libero. Ne segue dopo qualche passaggio trigonometrico (formule di addizione):

Finalmente otteanimo l'equazione della traiettoria in coordinate polari:

Per quanto precede, già sappiamo chi sono p e φ₀, per cui chiediamoci: cosa rappresenta ε Intanto vediamo che se ε=0 si ha

cioè abbiamo l'unica orbita circolare. Dunque ε ci dice di quanto si allontana l'orbita dall'andamento circolare. Incidentalmente, dalla geometria analitica sappiamo che la formula scritta più sopra è l'equazione (in coordinate polari) di una conica con un fuoco nell'origine. Precisamente: