Parametrizzazione dell'orbita. Prima forma dell'equazione delle orbite. Orbite circolari

domenica, Aprile 11th, 2021

Ciò premesso, il problema in esame si riconduce al seguente problema di Cauchy:

che per una funzione V'_eff(r) lipschitiana, ammette l'unica soluzione:

Tale soluzione è manifestamente una rappresentazione parametrica dell'orbita. D'altra parte, dalla seconda equazione differenziale si trae

Cioè la derivata rispetto al tempo dell'angolo polare ha lo stesso segno della componente z del momento angolare, e come tale non si annulla mai:

Escludiamo il caso banale L_z=0, in cui il moto è puramente radiale. Il non annullarsi della derivata implica che la sostituzione t->φ è una sostituzione di parametro ammissibile della rappresentazione parametrica scritta precedentemente. Quindi

Ne segue che dobbiamo scrivere un'equazione differenziale per tale funzione. A tale scopo sfruttiamo la conservazione dell'energia meccanica:

Cioè

da cui tenendo conto dell'espressione della derivata dell'angolo polare, si ottiene:

nota come prima forma dell'equazione delle orbite. Abbiamo dunque il problema di Cauchy:

Si noti la presenza dell'energia meccanica che svolge il ruolo di parametro:

È preferibile lavorare sulla funzione inversa φ(r):

Procedendo per separazione di variabili:

Deve essere E-V_eff(r) > 0. Se vale l'uguaglianza l'integrale è un integrale generalizzato, per cui si presenta il problema della convergenza. Tuttavia qui valgono le medesime considerazioni svolte per i moti unidimensionali. Precisamente, se la funzione f(r)=E-V_eff(r) ha zeri semplici, cioè del tipo

allora l'integrale converge. Resta dunque definita la regione accessibile:

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Prima forma dell'equazione delle orbite

venerdì, Marzo 19th, 2021

Riprendiamo dalla lezione precedente.

Proposizione
Se L_z=0 il moto si svolge lungo la retta di equazione (in coordinate polari) φ=φ₀ essendo φ₀=φ(0) l'anomalia del punto materiale nell'istante iniziale. Se L_z è diverso da zero, la funzione φ(t) è invertibile.

Dim.

La prima parte del teorema è immediata.La prima parte del teorema è immediata.

Passiamo alla seconda parte:

cioè φ(t) è monotonamente crescente. Alla stessa maniera, nel caso opposto. Da ciò segue l'asserto.