Somma delle aree e dei perimetri di infiniti quadrati ottenuti per ricorsione

martedì, Ottobre 12th, 2021

Esercizio tratto (e modificato) dal Gizzetti. La soluzione è nostra.

È dato un quadrato Q₀ di lato a. Si consideri il quadrato Q₁ che ha come vertici i punti medi dei lati di Q₀, poi il quadrato Q₂ avente per vertici i punti medi dei lati di Q1 (fig. 1). Iterando il procedimento si perviene a una successione di quadrati:

ciascuno dei quali è contenuto nel precedente. Dimostrare che la somma dei perimetri e delle aree degli infiniti quadrati ottenuti con tale procedimento ricorsivo, hanno entrambe un valore finito.

Soluzione

È nota la lunghezza a del lato del quadrato Q₀. Guardando la fig. 1 si perviene alla lunghezza del lato di Q₁

e del lato di Q₂:

Ne segue il lato di Q_n

Perimetro e area del quadrato n-esimo sono dunque:

La somma dei perimetri è

giacché abbiamo una serie geometrica convergente. Quindi

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Triangolo annidato

venerdì, Maggio 14th, 2021

Appunti ed esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.
Esercizio
Dato un triangolo, di cui sono noti i lati, dividere questi in tre parti uguali e determinare l'area del triangolo colorato centrale.

Soluzione
Ciascuno lato (rosso, fig. 1) del triangolo sia diviso in tre parti uguali; si veda come procedere nell'esercizio precedente.
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