Somma delle aree e dei perimetri di infiniti quadrati ottenuti per ricorsione

Ottobre 12th, 2021 | by Marcello Colozzo |

quadrato,area,perimetro
Fig. 1


Esercizio tratto (e modificato) dal Gizzetti. La soluzione è nostra.

È dato un quadrato Q0 di lato a. Si consideri il quadrato Q1 che ha come vertici i punti medi dei lati di Q0, poi il quadrato Q2 avente per vertici i punti medi dei lati di Q1 (fig. 1). Iterando il procedimento si perviene a una successione di quadrati:


ciascuno dei quali è contenuto nel precedente. Dimostrare che la somma dei perimetri e delle aree degli infiniti quadrati ottenuti con tale procedimento ricorsivo, hanno entrambe un valore finito.


Soluzione

È nota la lunghezza a del lato del quadrato Q0. Guardando la fig. 1 si perviene alla lunghezza del lato di Q1


e del lato di Q2:

Ne segue il lato di Qn

Perimetro e area del quadrato n-esimo sono dunque:

La somma dei perimetri è

giacché abbiamo una serie geometrica convergente. Quindi

È altrettanto facile calcolare la somma delle aree, in quanto anche qui abbiamo una serie geometrica convergente:


Cioè

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