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Serie a termini di segno costante. La funzione zeta di Riemann

Definizione
Una serie

si dice a termini di segno costante se

Senza perdita di generalità, consideriamo il caso delle serie i cui termini sono non negativi.
Teorema
Una serie a termini non negativi non è mai indeterminata.

Dim.

Abbiamo

Consideriamo la successione delle somme parziali:

che è ovviamente una funzione

Dal momento che {S_N} è monotonamente crescente, per una nota proprietà:

Osservazione

dove

cioè il codominio della predetta funzione f.

Teorema
Assegnate le serie a termini non negativi:

tali che

si ha

Dim.

Consideriamo le somme parziali di singola serie:

Ne segue

da cui

Teorema
Per un assegnato numero reale λ, la serie

converge per λ > 1, diverge per λ <= 1 ("minore o ugualae") . Dim.

Per λ=1 abbiamo la serie armonica che è divergente. In tutti gli altri casi abbiamo comunque una serie a termini positivi per cui possiamo applicare i teoremi precedenti. In particolare:

Per λ > 1 prendiamo ad arbitrio p intero naturale non nullo, e determiniamo la somma parziale di ordine 2^p-1:

che può essere espansa raggruppando opportunatamente i singoli termini:

essendo

la somma parziale di ordine p-1 della serie geometrica

Risulta:

per cui la predetta serie geometrica è a termini positivi, ed inoltre converge:

Segue

Ciò implica che il codominio della successione {S_N} è superiormente limitato. Infatti:

e quindi l'asserto:

La serie appena studiata, definisce nel campo reale la cosiddetta funzione zeta di Riemann che in realtà, è una funzione di variabile complessa. Nel campo reale è definita da:

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