» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Il linguaggio delle funzioni d'onda della Meccanica quantistica

martedì, Novembre 14th, 2017

Consideriamo un sistema quanto-meccanico costituito da una particella di massa m vincolata a muoversi sull'asse x sotto l'effetto di un potenziale di oscillatore armonico. Con ovvio significato dei simboli, l'operatore hamiltoniano del sistema si scrive:

essendo ω la pulsazione (o frequenza angolare). Come è noto, l'operatore hamiltoniano in tal caso esibisce uno spettro puramente discreto:

per cui nella notazione bracket di Dirac, l'equazione agli autovalori si scrive:

Nella rappresentazione delle coordinate:

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[¯|¯] L'oscillatore anarmonico

domenica, Marzo 19th, 2017

La seguente animazione è la traiettoria del punto rappresentativo di un oscillatore armonico nello spazio delle configurazioni lontano dalla risonanza.

Ques'altra animazione è, invece, la traiettoria del punto rappresentativo di un oscillatore anarmonico nello spazio delle fasi in condizioni di risonanza.

In un oscillatore anarmonico, la forza elastica anziché essere lineare in funzione della deformazione x della molla, segue una legge di potenza:

Abbiamo, dunque, un'equazione differenziale del second'ordine non lineare. La non linearità implica un'integrazione numerica. Ad esempio, per n=5 troviamo la soluzione plottata in figura:

Naturalmente in questo caso la costante k>0 ha dimensioni diverse dalla costante elastica in regime lineare. Il secondo principio della dinamica nel caso di oscillazioni libere si traduce nel seguente problema di Cauchy:

Più interessante è il caso delle oscillazioni forzate. Ad esempio, applicando una forza

si ha:

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