Oscillatore armonico tridimensionale isotropo

domenica, Marzo 21st, 2021

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Riprendiamo il moto di un oscillatore armonico tridimensionale isotropo in relazione al problema delle orbite in un campo centrale.
Per discutere il moto dell'oscillatore per valori dell'energia maggiori di ω|Lz|, occorre innanzitutto osservare che nell'equazione


deve essere


come c'era d'aspettarsi, tenendo conto che il moto tridimensionale della particella equivale a un moto unidimensionale sotto l'azione del potenziale efficace, per cui è definita una regione classicamente accessibile:


La discussione del moto necessita del grafico del potenziale efficace che è in fig.

Per un valore dell'energia E > Veff(rc)=ω|Lz|, la regione classicamente accessibile è l'intervallo chiuso e limitato

dove gli estremi sono le radici dell'equazione E=Veff(r), cioè


da cui


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Orbite circolari in un campo centrale

venerdì, Marzo 19th, 2021

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Abbiamo visto che invertendo la funzione φ(r) che è un integrale particolare di questa equazione differenziale otteniamo l'equazione della traiettoria r(φ). Se in particolare, tale funzione è una costante:


l'orbita è manifestamente circolare. Abbiamo quindi, un moto circolare che è uniforme in virtù della costanza della velocità areolare (seconda legge di Keplero):

Teorema
In un campo centrale le orbite circolari corrispondono ai punti critici del potenziale efficace.

Dim.


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