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Oscillatore armonico tridimensionale isotropo

Marzo 21st, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Riprendiamo il moto di un oscillatore armonico tridimensionale isotropo in relazione al problema delle orbite in un campo centrale.
Per discutere il moto dell'oscillatore per valori dell'energia maggiori di ω|L_z|, occorre innanzitutto osservare che nell'equazione

deve essere

come c'era d'aspettarsi, tenendo conto che il moto tridimensionale della particella equivale a un moto unidimensionale sotto l'azione del potenziale efficace, per cui è definita una regione classicamente accessibile:

La discussione del moto necessita del grafico del potenziale efficace che è in fig.

Per un valore dell'energia E > V_eff(r_c)=ω|L_z|, la regione classicamente accessibile è l'intervallo chiuso e limitato

dove gli estremi sono le radici dell'equazione E=V_eff(r), cioè

da cui

Per determinare l'equazione della traiettoria, dobbiamo calcolare l'integrale:

Se poniamo

il corrispondente integrale indefinito è stato risolto in questa pagina , per cui

Qui dobbiamo utilizzare la nota identità

che può essere snellita scegliendo il riferimento polare tale che

Ne segue

che può essere messa in forma cartesiana:

ovvero l'equazione di un ellisse di centro l'origine e semiassi r_min,r_max.

Tags: meccanica classica, oscillatore armonico tridimensionale isotropo

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