Oscillatore armonico tridimensionale isotropo

Marzo 21st, 2021 | by Marcello Colozzo |

oscillatore armonico tridimensionale isotropo,meccanica classica


Riprendiamo il moto di un oscillatore armonico tridimensionale isotropo in relazione al problema delle orbite in un campo centrale.
Per discutere il moto dell'oscillatore per valori dell'energia maggiori di ω|Lz|, occorre innanzitutto osservare che nell'equazione


deve essere


come c'era d'aspettarsi, tenendo conto che il moto tridimensionale della particella equivale a un moto unidimensionale sotto l'azione del potenziale efficace, per cui è definita una regione classicamente accessibile:


La discussione del moto necessita del grafico del potenziale efficace che è in fig.

Per un valore dell'energia E > Veff(rc)=ω|Lz|, la regione classicamente accessibile è l'intervallo chiuso e limitato

dove gli estremi sono le radici dell'equazione E=Veff(r), cioè


da cui


Per determinare l'equazione della traiettoria, dobbiamo calcolare l'integrale:


Se poniamo


il corrispondente integrale indefinito è stato risolto in questa pagina , per cui


Qui dobbiamo utilizzare la nota identità


che può essere snellita scegliendo il riferimento polare tale che


Ne segue

che può essere messa in forma cartesiana:

ovvero l'equazione di un ellisse di centro l'origine e semiassi rmin,rmax.

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