» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] L'integrale generale dell'equazione di D'Alembert

Ripensando al termine generico della funzione zeta di Riemann (in cui le variabili sono opportunatamente parametrizzate da (x,y) in (x,t)), quale possibile onda stazionaria nel piano xt. Il dubbio proviene dal fatto di voler per forza utilizzare la notazione complessa per la scrittura delle funzioni d'onda. In tal modo, una dipendenza da x e t pur apparendo come prodotto di due termini (condizione necessaria affinchè l'onda sia stazionaria), in realtà potrebbe riprodurre la combinazione lineare x-c*t, riproducendo in tal modo un'onda piana.
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[¯|¯] La funzione zeta di Riemann e la propagazione di onde piane con velocità immaginaria

Abbiamo visto che parametrizzando in maniera opportuna le variabili indipendenti, la funzione zeta di Riemann, si esprime come sovrapposizione lineare di infinite onde stazionarie.

Di seguito alcune osservazioni.

1. ψ_n(x+i*t) è olomorfa

in C={x+i*t | -oo

2. ψ_n(x,t) è dotata di derivate parziali di ordine comunque elevato e continue in C

Per un noto teorema, segue (la condizione 2 è sovrabbondante, poiché è richiesta esistenza e continuità delle derivate parziali fino al secondo ordine) che

ψ_n(x,t) è armonica in R², i.e. verifica l'equazione di Laplace:

Da un punto di vista formale, la predetta equazione può scriversi nel piano xt, come un'equazione di D'Alembert:

Come è noto, l'integrale generale di tale equazione è:

cioè la sovrapposizione lineare di due onde piane (una progressiva e l'altra regressiva) che si propagano a velocità immaginaria. D'altra parte, ψ_n(x,t) è un'onda stazionaria, ma in senso improprio poiché la stazionarietà implica comunque un'oscillazione della parte spaziale dell'onda.

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