[¯|¯] La funzione zeta di Riemann quale sovrapposizione lineare di una infinità numerabile di onde stazionarie che

[¯|¯] La funzione zeta di Riemann quale sovrapposizione lineare di una infinità numerabile di onde stazionarie che "esplodono" in singolarità

venerdì, Gennaio 26th, 2018

funzione zeta di Riemann,onde stazionarie,singolarità

Abbiamo visto che sotto un'opportuna parametrizzazione delle variabili (x,y) del piano complesso, la funzione zeta di Riemann può essere interpretata come una sovrapposizione lineare di infinite onde stazionarie. Abbiamo, quindi, un campo scalare del tipo "onda stazionaria" che sfortunatamente non si annulla all'infinito, ma addirittura diverge per x->-oo. Eseguendo il cambio di variabile ξ=1/x si "sposta" la singolarità in x=0, per cui rispetto alla nuova coordinata abbiamo un'onda la cui ampiezza "esplode" in singolarità per x->0^-. Si potrebbe quindi tentare di trovare una equazione differenziale alle derivate parziali che ammette una soluzione non regolare, del tipo di quella che abbiamo precedentemente impostato.

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[¯|¯] La funzione zeta di Riemann e le onde stazionarie

giovedì, Gennaio 25th, 2018

funzione zeta di Riemann,onde stazionarie,equazione d'onda

Sfortunatamente l'approccio precedente non funziona, in quanto il sistema di funzioni {u_n(x)} non è ortonormale in [0,+oo). Non può essere ortonormalizzato in tale intervallo (applicando il noto procedimento di Gram-Schmidt) in quanto la u_1(x)=1 per ogni x (altro aspetto inaccettabile). Potremmo fissare un intervallo limitato del tipo [0,a] e applicare Gram-Schmidt. Ma ciò cambierebbe comunque l'espressione analitica delle singole autofunzioni che darebbero luogo a una serie di Dirichlet differente.
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