Stabilità delle orbite circolari (secondo Lagrange). Parte prima

giovedì, Aprile 1st, 2021

stabilità delle orbite circolari,lagrange, lyapunov
Fig. 1


Promemoria

Stiamo studiando il moto di una particella di massa m in un campo centrale:


con F(r) funzione "sufficientemente regolare", avendosi manifestamente


Siccome stiamo considerando un campo attrattivo, riesce F(r) < 0. Il campo è comunque conservativo, con energia potenziale V(r) tale che

Avevamo poi visto che l'equazione differenziale del moto (piano)

si proietta (nel piano del moto xy) in una componente radiale e in una componente trasversale


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Primo teorema di Lyapunov (Gantmacher vs Fasano-Marmi)

martedì, Novembre 24th, 2020

lezioni di meccanica analitica,Lyapunov,gantmacher,fasano-marmi


Alcune perplessità su un teorema di Meccanica analitica, riguardante la stabilità del moto. Più specificatamente, il problema riguarda l'invertibilità del teorema di Lagrange che noi abbiamo impostato sulla falsariga del procedimento utilizzato dal Fasano-Marmi nella dinamica monodimensionale.



In sostanza, il predetto teorema fornisce una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un punto ξ0 sia una posizione di equilibrio stabile. Precisamente, se ξ0 è punto di minimo relativo proprio per la funzione "energia potenziale" V(x) (quindi stiamo parlando di un sistema conservativo), allora tale punto è una posizione di equilibrio stabile. Tuttavia, non è vero il viceversa, e il Fasano-Marmi propone un suggestivo ed efficace controesempio, in cui V(x) è di classe C^oo ma non è analitica. In questo esempio specifico, l'origine x=0 non è punto di minimo relativo, e tuttavia è una posizione di equilibrio stabile (per rendersene conto basta applicare la definizione secondo Lyapunov)



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Di contro, sull'ottimo testo di Felix Gantmacher viene enunciato e dimostrato il Primo teorema di Lagrange come illustrato in fig. 1, che sembra contraddire il Fasano-Marmi.
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