Stabilità delle orbite circolari (secondo Lagrange). Parte prima |

Stabilità delle orbite circolari (secondo Lagrange). Parte prima

Aprile 1st, 2021 | by Marcello Colozzo |

stabilità delle orbite circolari,lagrange, lyapunov — **Fig. 1**

Promemoria

Stiamo studiando il moto di una particella di massa m in un campo centrale:

con F(r) funzione "sufficientemente regolare", avendosi manifestamente

Siccome stiamo considerando un campo attrattivo, riesce F(r) < 0. Il campo è comunque conservativo, con energia potenziale V(r) tale che

Avevamo poi visto che l'equazione differenziale del moto (piano)

si proietta (nel piano del moto xy) in una componente radiale e in una componente trasversale

Inoltre, il predetto moto piano equivale a un moto unidimensionale sotto l'azione di un potenziale efficace:

Ciò premesso, riferiamo in particolare a un'orbita circolare:

Dalla seconda delle eq. scritte più sopra

Per determinare la costante serviamoci della prima delle predette equazioni

onde

dove abbiamo tenuto conto del fatto che la funzione F(r) è definita negativa. Ne consegue che una rappresentazione parametrica (in coordinate polari) di un'orbita circolare è

Per un teorema dimostrato in questa lezione r_c è un punto critico del potenziale efficace:

Tale equazione definisce implicitamente il raggio dell'orbita circolare come funzione continua della componente z del momento angolare. In un'orbita circolare l'energia meccanica è

Per lo studio della stabilità di una qualunque orbita circolare, è conveniente considerare la seguente configurazione dinamica: alla forza centrale F(r) si aggiunge un termine perturbativo δF(r) tale che

Si noti la dipendenza di tale termine dal vettore posizione r=(x,y,z) e non solo dal suo modulo (altrimenti il campo risultante sarebbe ancora centrale). Per essere più chiari, c'è la fig. 1.
Ne segue che la risultante delle forze è

Anziché sbattersi nell'integrazione dell'equazione del moto, è preferibile un'analisi qualitativa facendo riferimento alla predetta figura, in cui abbiamo scomposto il termine perturbativo in due componenti:

una parallela al momento angolare (e quindi, all'asse z), l'altra perpendicolare. La prima cambia il momento angolare, per cui ci aspettiamo una conseguente inclinazione del piano dell'orbita. La componente perpendicolare giace nel piano coordinato xy, per cui si esprime come combinazione lineare dei versori radiale e trasversale (fig. 1).

La componente radiale è centrale, per cui non modifica il momento angolare. La componente trasversale invece cambia L. In definitiva:

Tuttavia

che ci consente di trascurare la variazione del momento angolare, per cui un'orbita perturbata conserva la propria giacitura.
Dopo questa analisi qualitativa, passiamo all'equazione da integrare, cioè

Qui le condizioni iniziali sono

Abbiamo comunque una perplessità derivante dal fatto che pur essendoci equivalenza tra un moto centrale e un moto unidimensionale, nel primo caso abbiamo un grado di libertà in più rappresentato dalla variabile φ(t). È facile persuadersi che il valore iniziale φ(0)=φ₀ è ininfluente. Per quanto riguarda la derivata prima, sfruttiamo la conservazione del momento angolare:

e siccome il momento angolare è assegnato, si ha che il valore iniziale della coordinata radiale determina univocamente il valore iniziale della derivata prima dell'anomalia.

Definizione
Assegnato il momento angolare L, l'orbita circolare

è stabile secondo Lagrange se

Per quanto precede, il moto equivale a un moto unidimensionale sotto l'azione del potenziale efficace. Ciò implica a sua volta, l'equivalenza della stabilità secondo Lagrange alla stabilità secondo Lyapunov. Inoltre, abbiamo visto che l'anomalia non gioca alcun ruolo sulla stabilità, per cui possiamo estendere il teorema di Lagrange alla stabilità delle orbite circolari:

Teorema