» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Forma trigonometrica degli integrali ellittici

mercoledì, Aprile 21st, 2021

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In questo numero eseguiamo un cambio di variabile che trasforma gli integrali ellittici di prima, seconda e terza specie. Iniziamo con gli integrali di prima specie:

rammentando che P(x) è un polinomio di terzo grado. Ed è chiaro che possiamo scriverlo nella forma:

assumendo i coefficienti reali. Supponiamo poi che le radici siano reali: α,ß,γ. Si noti che per i nostri scopi, tali radici devono essere distinte. Diversamente:

per cui

che non è un integrale ellittico. Assumiamo poi la seguente convenzione:

e in entrambi i casi, ß è la radice media. Più formalmente:

Senza perdita di generalità, consideriamo il caso (+):

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Integrali ellittici. Lezione 1 (introduzione)

sabato, Aprile 17th, 2021

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Sia dato il seguente integrale

essendo R(x,y) una funzione razionale, e P(x) un polinomio di grado n.
Definizione
Se è n=3 o n=4, l'integrale appena scritto si dice integrale ellittico.
In generale, gli integrali ellittici non sono elementarmente esprimibili. Prima di procedere, rammentiamo velocemente i principali metodi di integrazione per n=2. Quindi

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