» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Forma trigonometrica degli integrali ellittici

Aprile 21st, 2021 | by Marcello Colozzo |

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In questo numero eseguiamo un cambio di variabile che trasforma gli integrali ellittici di prima, seconda e terza specie. Iniziamo con gli integrali di prima specie:

rammentando che P(x) è un polinomio di terzo grado. Ed è chiaro che possiamo scriverlo nella forma:

assumendo i coefficienti reali. Supponiamo poi che le radici siano reali: α,ß,γ. Si noti che per i nostri scopi, tali radici devono essere distinte. Diversamente:

per cui

che non è un integrale ellittico. Assumiamo poi la seguente convenzione:

e in entrambi i casi, ß è la radice media. Più formalmente:

Senza perdita di generalità, consideriamo il caso (+):

Da tale cambio di variabile nasce la funzione composta:

Cioè

avendo definito

Dall'ordinamento delle radici, si ha

Procedendo in modo simile per il caso (-), si ha in generale

Il differenziale della variabile di integrazione trasforma come

In definitiva otteniamo l'espressione riportata in fig. 1.

Tags: forma trigonometrica, integrali ellittici

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