Integrali ellittici di prima, seconda e terza specie

Aprile 19th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1


Seguendo le orme di Smirnov, si dimostra che un qualunque integrale ellittico


è comunque riducibile a integrali del tipo

dove φ(x) è un polinomio e k un intero relativo.

Definiamo rispettivamente integrale ellittico di prima specie, seconda e terza specie gli integrali scritti in fig. 1, quindi dimostriamo
Proposizione
Un qualunque integrale ellittico si esprime come combinazione lineare degli integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.

Dim.

Senza perdita di generalità, assumiamo che P(x) sia un polinomio di terzo grado:


Quindi poniamo

Per un intero naturale m non nullo assegnato ad arbitrio, deriviamo


Integrando primo e secondo membro


essendo C una costante di integrazione. Ordinando i vari termini, otteniamo

che è manifestamente una formula di ricorrenza per gli integrali Ik. Per m=0,m=1 otteniamo


cioè un sistema lineare che ci permette di esprimere gli integrali I2,I3 attraverso I0, I1. Per m=2

che esprime I4 attraverso I3,I2,I1. Iterando il procedimento vediamo dunque che per un qualunque k intero positivo, Ik si esprime attraverso I0,I1. Denotando con r il grado del polinomio φ(x), si ha:

da cui la prima parte dell'asserto, giacché Ik si esprime attraverso I0,I1. Per la seconda parte dell'asserto, prendiamo l'integrale

per poi eseguire il cambio di variabile t=x-a, per cui l'integrale diventa

L'asserto segue immediatamente da un procedimento analogo a quello visto nel caso precedente.

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