La funzione di Airy e il neutrone in caduta libera

martedì, Marzo 16th, 2021

neutrone,gravità, meccanica quantistica,funzione di airy

Se il neutrone fosse un oggetto classico, il problema della caduta libera si risolverebbe al volo. Infatti, orientando un asse x verso l'alto, si ha che il potenziale del campo di gravità è

dove m è la massa del neutrone e g l'accelerazione di gravità. Si noti che abbiamo posto lo zero del potenziale in x=0 (suolo). Applicando il secondo principio della dinamica si perviene all'equazione differenziale del moto:

che assieme alle condizioni iniziali x(0)=x0 e d/dt(x(t))=0 (per t=0) restituisce l'unica soluzione

che ci consente di calcolare l'istante di arrivo al suolo:

Schematizzando il suolo come una superficie infinitamente dura, si ha un urto elastico ed è facile determinare la dinamica del processo a tutti i tempi. Sfortunatamente, il neutrone è un oggetto quantistico per cui non è possibile assegnare una condizione iniziale di quella vista prima giacché violerebbe il principio di indeterminazione di Heisenberg. La Meccanica quantistica ci dice che dobbiamo risolvere lo spettro dell'operatore hamiltoniano:

Dal momento che il suolo è una superficie infinitamente dura, si ha:

Per un assegnato valore E=mgx₀ dell'energia, la regione classicamente accessibile

Ne segue che lo spettro dell'hamiltoniano è puramente discreto. Abbiamo, dunque, solo stati legati. Per determinare lo spettro dobbiamo risolvere l'equazione agli autovalori:

cioè integrare l'equazione differenziale del secondo ordine (equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo)

Con le condizioni al contorno:

È preferibile passare al dominio degli impulsi. Come è noto, ciò equivale ad eseguire la trasformata di Fourier giacché le autofunzioni dell'energia nel predetto dominio sono:

Eseguendo la trasformata di Fourier delle funzioni che compaiono nell'equazione di Schrödinger, otteniamo la medesima equazione scritta nel dominio degli impulsi:

che è del primo ordine e a variabili separabili:

da cui

Segue

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[¯|¯] Il problema della cerbottana

venerdì, Gennaio 4th, 2019

cerbottana,moto di proiettili,caduta libera,gravità — **Fig. 1**.

Esercizio
Una cerbottana è puntata verso un bersaglio B, che nell'istante in cui viene sparato il proiettile, è lasciato in caduta libera (fig. 1).
Mostrare che il proiettile colpisce il bersaglio, qualunque sia la sua posizione iniziale, a patto che la cerbottana sia orientata verso B e che il proiettile venga sparato siimultaneamente alla caduta libera di B.
Trascurare la resistenza dell'aria).

Soluzione

Osserviamo innanzitutto che il moto del proiettile e il moto del bersaglio sono entrambi regolati dalla stessa equazione differenziale:

dove r è il vettore posizione di singolo punto materiale, mentre g è l'accelerazione di gravità.
Istituendo un sistema di assi coordinati come in fig. 1, si ha che in generale è r=xi+yj, g=-gj , essendo i e j i versori degli assi coordinati. Ciò che cambia sono le condizioni iniziali dei corpi in movimento. Più precisamente, risultano impostanti i seguenti problemi di Cauchy:

La cerbottana è orientata verso B se e solo se i vettori v₀ e r_0B sono paralleli e concordi:

o ciò che è lo stesso, le coordinate polari del bersaglio nell'istante iniziale τ, sono r_0Bs e l'angolo di lancio θ. Risolvendo i predetti problemi di Cauchy, si trova: