[¯|¯] Grafico di una corrispondenza
domenica, Giugno 17th, 2018Definizione
Comunque prendiamo gli insiemi A e B, sono univocamente determinate le seguenti applicazioni:
che si chiamano rispettivamente prima proiezione e seconda proiezione associate al prodotto cartesiano A×B. Evidentemente:
Proposizione
Le proiezioni π1 e π2 sono applicazioni suriettive.
Dimostrazione
Le immagini di A×B mediante le singole proiezioni sono rispettivamente
onde l'asserto.
Ciò premesso, sussiste la seguente definizione
Definizione
Dicesi grafico di una corrispondenza da S verso S'
l'insieme
Cioè il grafico di una corrispondenza da S verso S', è un particolare sottoinsieme di S×S'. Ci si può chiedere se sia vero il viceversa. La risposta è affermativa ed è fornita dalla seguente proposizione:
Proposizione
Un qualunque sottoinsieme F (non vuoto) di S×S', è il grafico di una corrispondenza da S verso S'
data da
Dimostrazione
Per definizione di controimmagine:
Definiamo
Segue
o ciò che è lo stesso
È quindi definita la corrispondenza
onde l'asserto.
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