[¯|¯] Grafico della reciproca della funzione parte intera di x
Settembre 21st, 2014 | by extrabyte |
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Tracciare il grafico della funzione:
\begin{equation}
f\left( x\right) =\frac{1}{\left[ x\right] }\label{eq: rc}%
\end{equation}
Svolgimento
Osserviamo innanzitutto che la funzione proposta è definita per ogni 
tale che
, cioè per
, onde l'insieme di definizione è:

Per
:![x\in\left[ n-1,n\right) \Longrightarrow\left[ x\right] =n-1\Longrightarrow \frac{1}{\left[ x\right]}=\frac{1}{n-1}](https://www.extrabyte.info/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c8e0f2a0159013097db54513733b6c06.gif)
In maniera simile:
![x\in\left( -n,-n+1\right] \Longrightarrow\left[ x\right]=-n+1\Longrightarrow\frac{1}{\left[ x\right] }=\frac{1}{-n+1}%](https://www.extrabyte.info/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7e43b9381d0f1d181e44df9dd2ff353e.gif)
Abbiamo assegnato
, poichè
implica
.Esplicitiamo alcuni valori di
:\begin{align*}
n & =2\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 1,2\right) \Longrightarrow\left[ x\right] =1\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=1\\
x\in\left( -2,-1\right] \Longrightarrow\left[ x\right] =-1\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=-1
\end{array}
\right. \\
n & =3\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 2,3\right) \Longrightarrow\left[ x\right] =2\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=\frac{1}{2}\\
x\in\left( -3,-2\right] \Longrightarrow\left[ x\right] =-2\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=-\frac{1}{2}%
\end{array}
\right. \\
n & =4\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 3,4\right) \Longrightarrow\left[ x\right] =3\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=\frac{1}{3}\\
x\in\left( -3,-2\right] \Longrightarrow\left[ x\right] =-3\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=-\frac{1}{3}%
\end{array}
\right. \\
& ...,
\end{align*}
A questo punto siamo in grado di tracciare il grafico per
, che è riportato in fig. 1,da cui vediamo che è dato dall'unione di un numero infinito di segmenti.

Fig. 1. Grafico della funzione proposta/p>
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Tags: diagramma cartesiano, funzione parte intera di x, funzione reciproca, grafico, Insieme di definizione
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