[¯|¯] Grafico della reciproca della funzione parte intera di x

Settembre 21st, 2014 | by extrabyte |
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Tracciare il grafico della funzione:
\begin{equation}
f\left( x\right) =\frac{1}{\left[ x\right] }\label{eq: rc}%
\end{equation}

Svolgimento



Osserviamo innanzitutto che la funzione proposta è definita per ogni x
tale che \left[  x\right]  \not =0 , cioè per x\notin\left(-1,1\right) , onde l'insieme di definizione è:

X=\left(  -\infty,-1\right)  \cup\left(  1,+\infty\right)


Per n\in\mathbb{N}\diagdown\left\{  0,1\right\}  :

x\in\left[  n-1,n\right)  \Longrightarrow\left[  x\right]  =n-1\Longrightarrow \frac{1}{\left[  x\right]}=\frac{1}{n-1}


In maniera simile:

x\in\left(  -n,-n+1\right]  \Longrightarrow\left[  x\right]=-n+1\Longrightarrow\frac{1}{\left[  x\right] }=\frac{1}{-n+1}%


Abbiamo assegnato n\not =1, poichè n=1 implica x\notin X.
Esplicitiamo alcuni valori di n:
\begin{align*}
n & =2\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 1,2\right) \Longrightarrow\left[ x\right] =1\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=1\\
x\in\left( -2,-1\right] \Longrightarrow\left[ x\right] =-1\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=-1
\end{array}
\right. \\
n & =3\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 2,3\right) \Longrightarrow\left[ x\right] =2\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=\frac{1}{2}\\
x\in\left( -3,-2\right] \Longrightarrow\left[ x\right] =-2\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=-\frac{1}{2}%
\end{array}
\right. \\
n & =4\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 3,4\right) \Longrightarrow\left[ x\right] =3\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=\frac{1}{3}\\
x\in\left( -3,-2\right] \Longrightarrow\left[ x\right] =-3\Longrightarrow
\frac{1}{\left[ x\right] }=-\frac{1}{3}%
\end{array}
\right. \\
& ...,
\end{align*}
A questo punto siamo in grado di tracciare il grafico per x\in\left[-4,4\right]  , che è riportato in fig. 1,
da cui vediamo che è dato dall'unione di un numero infinito di segmenti.

funzione reciproca parte intera di x

Fig. 1. Grafico della funzione proposta/p>


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