[¯|¯] Grafico di una relazione

mercoledì, Giugno 27th, 2018

relazione,insieme,grafico,diagonale — **Fig. 1**

Sia S un insieme non vuoto e ρ una relazione in S:

Definizione
Dicesi grafico della relazione ρ il seguente sottoinsieme del prodotto cartesiano S×S:

Definizione
Dicesi diagonale del prodotto cartesiano S×S, il sottoinsieme:

Definizione
Dicesi simmetrico rispetto alla diagonale di un elemento (x,y) del prodotto cartesiano S×S, l'elemento (y,x).

Proposizione
Un elemento (x,y) del prodotto cartesiano S×S coincide con il proprio simmetrico, se e solo se appartiene alla diagonale di S×S.

Dimostrazione.

Discende direttamente dalla definizione di simmetrico.

Definizione
Assegnato un sottoinsieme T di S×S, dicesi simmetrico di T rispetto alla diagonale di S×S, l'insieme:

cioè l'insieme i cui elementi sono i simmetrici rispetto a Δ degli elementi di T.

Definizione
Un sottoinsieme T di S×S è simmetrico rispetto alla diagonale di S×S se T=T^-1.

Consideriamo, ad esempio, il prodotto cartesiano R×R=R² quale insieme di punti di un piano α dello spazio ordinario. Introducendo in α un riferimento cartesiano ortogonale R_α(Oxy), si ha

Cioè la diagonale di R×R è la bisettrice del primo e terzo quadrante. Sia

il cui simmetrico rispetto a Δ è:

come illustrato in fig. 1.

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[¯|¯] Grafico di un'applicazione

mercoledì, Giugno 20th, 2018

Definizione
Dicesi grafico di un'applicazione f:S->S', l'insieme

Lemma
Comunque prendiamo un'applicazione f:S->S', l'insieme

è costituito da un solo elemento.

Dimostrazione
La controimmagine di π₁ è:

Segue

onde l'asserto.

In base a tale lemma, si ha la seguente proposizione la cui dimostrazione è immediata:
Proposizione
Un qualunque sottoinsieme Γ di S×S' tale che

è costituito da un solo elemento, è il grafico di un'applicazione.

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