[¯|¯] Sviluppo in serie di Fourier e fenomeno di Gibbs

martedì, Gennaio 2nd, 2018

serie di fourier,funzioni periodiche, fenomeno di gibbs

Esercizio
Studiare la convergenza della serie di Fourier associata alla funzione periodica di periodo T=2π.

Soluzione
Il grafico della funzione è riportato in fig
serie di fourier,funzioni periodiche, fenomeno di gibbs

Ricordiamo che

con i coefficienti di Fourier dati da:

Dal momento che la funzione è dispari, si ha uno sviluppo di soli seni. Più precisamente, riscriviamo la seconda delle formule precedenti nella forma equivalente

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[¯|¯] Forze variabili nel tempo (oscillatore armonico). Forme d'onda (circuito elettrico)

domenica, Marzo 19th, 2017

funzioni circolari inverse,funzioni periodiche,punto materiale,forza periodica

Studio della funzione f(x)=arccos(cosx)

Abbiamo esaminato il caso di un punto materiale di massa m sottoposto a una forza elastico di richiamo (caso unidimensionale) e ad una forza periodica del tempo:

dove

essendo Ω>0 la frequenza angolare (o pulsazione) di F(t). L'equazione differenziale del moto si scrive:

Ricordiamo che ω₀=(k/m)^1/2 è la pulsazione caratteristica dell'oscillatore. Notiamo poi che l'equivalente elettrico di tale sistema meccanico è un circuito i cui componenti sono rispettivamente un'induttanza di coefficiente di auto-induzione L e un condensatore di capacità C. Dal momento che ci troviamo in condizioni di idealità i.e. stiamo trascurando le forze di attrito nell'oscillatore meccanico, segue che nell'analogo elettrico il condensatore e l'induttanza non presentano una resistenza ohmica. Eseguendo la nota sostituzione:

si perviene all'equazione differenziale che regola l'andamento della carica elettrica:

si perviene all'equazione differenziale che regola l'andamento della carica elettrica:
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in cui abbiamo lasciata inespressa l'espressione analitica della funzione V(t) che è la f.e.m. che alimenta la serie LC (è il "corrispondente" della forza F(t) applicata all'oscillatore meccanico). Integrando la predetta equazione differenziale per assegnate condizioni iniziali, si perviene alla funzione q(t) e quindi all'intensità di corrente:
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