[¯|¯] Differenziabilità di una funzione vettoriale di variabile vettoriale (parte prima)

lunedì, Febbraio 10th, 2020

In un numero precedente abbiamo visto che il differenziale di una funzione vettoriale

è il vettore le cui componenti sono i differenziali totali delle componenti di f:

Ci proponiamo di stabilire la definizione di differenziabilità di una funzione vettoriale, per poi enunciare criteri sufficienti affinché una funzione sia differenziabile. Ricordiamo brevemente che nel caso di una funzione scalare di n variabili scalari, esistenza e continuità delle derivate parziali del primo ordine, costituiscono un criterio sufficiente di differenziabilità. Nel caso di una funzione vettoriale prima di dare la definizione di differenziabilità, scriviamo l'incremento della funzione nella seguente forma:

dove x₀ è un elemento di V preso ad arbitrio, mentre

svolge il ruolo di incremento della variabile indipendente. Ciò premesso, sussiste la seguente definizione:

Definizione
Una funzione vettoriale

si dice differenziabile in x₀, se esiste una funzione vettoriale lineare Λ(v) tale che

dove ω(v) è, per |v|->0, un infinitesimo di ordine superiore a |v|:

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[¯|¯] Riassunto sulla matrice Jacobiana di una funzione vettoriale di una variabile vettoriale. Il caso di una superficie.

domenica, Febbraio 9th, 2020

geometria differenziale,funzione vettoriale,matrice jacobiana — **Fig. 1**

Probabilmente il testo della Schaum Geometria differenziale (fig. 1) a cui abbiamo fatto riferimento nelle lezioni precedenti, è un pò formale per ciò che riguarda la definizione di differenziale di una funzione vettoriale di una variabile vettoriale e della conseguente matrice jacobiana. In questo numero facciamo un riassunto a modo nostro, poiché certi concetti si capiscono al volo utilizzando la rappresentazione dei vettori non come espansioni in componenti in una data base, ma come n-pla ordinata di componenti (in quella base).
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