Frenet's Theorem (Frenet formulas)

domenica, Dicembre 6th, 2020

Dopo aver dimostrato il lemma, passiamo finalmente alla dimostrazione delle formule di Frenet nel caso di curve in R^3 (avevamo dimostrato le medesime formule per curve in R^2).
La dimostrazione è molto semplice: data una curva regolare in rappresentazione naturale, fissiamo (ad arbitrio) una ascissa curvilinea s₀, e quindi la relativa terna intrinseca (che è una base ortonormale di R^3). Per un qualunque s, la terna intrinseca è una nuova base ortonormale di R^3. Ne segue che la matrice di passaggio dalla prima alla seconda base è una matrice ortogonale (i.e. elemento del gruppo O(3)). Ora orientiamo gli assi coordinati xyz come la terna intrinseca in s₀, per cui la prima base è la base canonica di R^3. Scrivendo i singoli vettori della nuova base come combinazione lineare dei vettori della prima base (in forma matriciale), e derivando rispetto all'ascissa curvilinea, ci ritroviamo con i primi membri coincidenti con quelli delle formule di Frenet, mentre a secondo membro abbiamo la derivata di una matrice che calcolata in s₀ è antisimmetrica in virtù del predetto lemma. E quindi l'asserto.

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