» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Elica cilindrica

sabato, Ottobre 7th, 2017

Studiare la seguente rappresentazione parametrica:

stabilendo la natura della curva, e passando alla rappresentazione naturale.
Soluzione
Risulta manifestamente

La derivata della funzione vettoriale x(t) è

Ne consegue la regolarità della rappresentazione parametrica assegnata. Scrivendo quest'ultima per singola componente

si ha

per cui la curva assegnata è un'elica cilindrica di passo b.
Assumiamo un riferimento curvilineo con origine nel punto P₀(a,0,0) corrispondente al valore t₀=0, e verso positivo coincidente con il verso delle t crescenti. Quindi:

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[¯|¯] Il cammino di integrazione è un arco di elica cilindrica (integrale curvilineo)

venerdì, Novembre 11th, 2016

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Esercizio
Calcolare l'integrale curvilineo:

dove il cammino di integrazione è l'arco di elica cilindrica

di estremi P(R,0,0) e Q(-R,0,k*π) (cfr fig. 1)

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Soluzione
È facile persuadersi che gli estremi P e Q del cammino di integrazione corrispondono rispettivamente ai valori t=0 e t=π del parametro, per cui la rappresentazione parametrica va completata in

Calcoliamo innanzitutto la funzione:

Le derivate delle funzioni x(t),y(t) e z(t) sono

onde
Quindi

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