In più variabili la derivabilità non implica la continuità

domenica, Gennaio 10th, 2021

derivabilità,continuità,funzioni di più variabili — **Fig. 1**

Nel caso di funzioni di una variabile, la derivabilità in un punto è condizione sufficiente per la continuità nello stesso punto. Di contro, per una funzione di più variabili, l'esistenza delle derivate parziali del primo ordine in un assegnato punto non implica la continuità. Ad esempio, abbiamo visto che la funzione

non è continua in (0,0). Mostriamo che f è ivi derivabile. Le regole di derivazione restituiscono:

Per calcolare le derivate in (0,0) dobbiamo applicare la definizione di derivata (limite del rapporto incrementale). Ad esempio:

per cui

In the case of functions of one variable, the differentiability in a point is a sufficient condition for continuity in the same point. On the other hand, for a function of several variables, the existence of first order partial derivatives in a given point does not imply continuity. For example, we have seen that function

it is not continuous in (0,0). We show that f is differentiable there. The derivation rules return:

To calculate the derivatives in (0,0) we need to apply the definition of derivative (limit of the incremental ratio). For example:

But

for which

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[¯|¯] Esempio di studio di funzione integrale

sabato, Gennaio 28th, 2017

studio di funzione,funzione integrale,funzione degli errori,continuità,derivabilità — **Fig. 1**

Studiare continuità e derivabilità al variare dei parametri reali a,b della funzione illustrata in fig. 1.

Soluzione
L'integrale che compare nell'espressione analitica della funzione per x>2, non è elementarmente esprimibile. Più precisamente, si esprime attraverso una funzione speciale nota come funzione degli errori:

funzione integrale,funzione degli errori,continuità,derivabilità

per cui

Ciò premesso, studiamo il comportamento della funzione in un intorno di x=2. A tale scopo calcoliamo:

Per risolvere l'indeterminazione applichiamo la regola di De L'Hospital:

Per x->2^-:
funzione integrale,funzione degli errori,continuità,derivabilità

Ne consegue che qualunque siano a,b il punto x=2 è di discontinuità di seconda specie. La continuità in x=2 può esserci solo a sinistra per b=-1/2. Inoltre, la funzione non è ivi derivabile, ma lo è solo a sinistra. Passiamo al comportamento per x->0.
funzione integrale,funzione degli errori,continuità,derivabilità