[¯|¯] Esempio di studio di funzione integrale

Gennaio 28th, 2017 | by Marcello Colozzo |

studio di funzione,funzione integrale,funzione degli errori,continuità,derivabilità — **Fig. 1**

Studiare continuità e derivabilità al variare dei parametri reali a,b della funzione illustrata in fig. 1.

Soluzione
L'integrale che compare nell'espressione analitica della funzione per x>2, non è elementarmente esprimibile. Più precisamente, si esprime attraverso una funzione speciale nota come funzione degli errori:

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per cui

Ciò premesso, studiamo il comportamento della funzione in un intorno di x=2. A tale scopo calcoliamo:

Per risolvere l'indeterminazione applichiamo la regola di De L'Hospital:

Per x->2^-:
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Ne consegue che qualunque siano a,b il punto x=2 è di discontinuità di seconda specie. La continuità in x=2 può esserci solo a sinistra per b=-1/2. Inoltre, la funzione non è ivi derivabile, ma lo è solo a sinistra. Passiamo al comportamento per x->0.
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Riesce:

onde

Per a=a_min
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per cui

Pertanto

Per x->0^-:

Per a=a_min:
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Ne consegue

Quindi x=0 è un punto di infinito per la funzione. Ne concludiamo che la funzione assegnata non è mai continua in x=0,2 comunque prendiamo i parametri reali a,b. Solo per b=-1/2 si verifica la continuità a sinistra in x=2. Infine, è facile convincersi che la funzione è infinitesima per x->+oo. Infatti:

onde

Per x->-oo

Cioè la retta y=-1/2 è asintoto orizzontale a sinistra. Nella seguente figura riportiamo il grafico per diversi valori dei parametri.
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