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Superficie con "struttura a nastro" (i.e. "non orientabile)

Gennaio 9th, 2021 | by Marcello Colozzo |

superficie non orientabile,struttura a nastro,nastro di möbius
Fig. 1


Esercizio

Classificare i punti di discontinuità della funzione



Soluzione
La funzione è definita su tutto R² escludendo l'origine (0,0). Qui è

per rimuovere la forma indeterminata 0/0, passiamo alle coordinate polari nel piano coordinato xy:

Tale trasformazione di coordinate, determina la funzione composta

Cioè in coordinate polari la funzione assegnata dipende solo dall'anomalia φ, e non dal raggio vettore r. Da un punto di vista fisico, tale funzione rappresenta un campo scalare omogeneo ma anisotropo.
Il precedente limite si scrive:

che implica la non esistenza del limite medesimo, giacché nel caso contrario dipenderebbe dalla direzione secondo cui ci avviciniamo al punto di accumulazione (0,0). Ne concludiamo che tale punto è di discontinuità di seconda specie per la funzione assegnata.
Il tracciamento del grafico (via software) è reso problematico dal fatto che la funzione è costante lunto le rette per l'origine (infatti in coordinate polari la funzione non dipende da r), mentre cambia bruscamente lungo le linee coordinate del piano cartesiano xy. Infatti:

Il grafico è tracciato in fig.:

Per evidenziare la discontinuità nell'origine e la conseguente struttura a nastro, è preferibile tracciare il grafico utilizzando la seguente rappresentazione parametrica:

ottenendo la superficie di fig. 1.


Exercise

Classify the points of discontinuity of the function



Solution
The function is defined on all R² excluding the origin (0,0). Here is


to remove the indeterminate form 0/0, we pass to the polar coordinates in the xy coordinate plane:

This coordinate transformation determines the composite function

That is, in polar coordinates the assigned function depends only on the anomaly φ, And not on the vector radius r. From a physical point of view, this function represents a homogeneous but anisotropic scalar field.
The previous limit is written:

which implies the non-existence of the limit itself, since otherwise it would depend on the direction in which we approach the accumulation point (0,0). We conclude that this point is of a second kind of discontinuity for the assigned function.
Plotting of the graph (via software) is made problematic by the fact that the function is constant since the lines to the origin (in fact in polar coordinates the function does not depend on r), while it abruptly changes along the coordinate lines of the Cartesian plane xy. Indeed:

The graph is plotted in fig .:

To highlight the discontinuity in the origin and the consequent ribbon structure , it is preferable to draw the graph using the following parametric representation:

obtaining the surface of fig. 1.

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