Introduzione all'equazione di Lane-Emden

mercoledì, Novembre 10th, 2021

equazione di Lane-Emden, potenziale gravitazionale,densità — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica dei fluidi elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Un ipotetico fluido ha la seguente equazione di stato

dove p e ρ sono rispettivamente pressione e densità, mentre K è una costante.

a) Mostrare che in certe condizioni di equilibrio esiste una relazione tra densità e potenziale gravitazionale;
b) scrivere un'equazione differenziale che, in condizioni di equilibrio, sia risolta dalla densità;
c) assumendo una simmetria sferica, calcolare il raggio dell'oggetto astronomico.

Soluzione
Quesito a

Si supponga che sul fluido agisca una forza F. Consideriamo l'equilibrio di un elemento di volume dV=dxdydz. In direzione dell'asse x l'equilibrio delle forze è dato da:

Poiché F è la forza per unità di volume, chiamiamo f la forza per unità di massa: f=F/ρ. Dall'equazione di stato della pressione possiamo scrivere

Se la forza esterna è dovuta ad un potenziale gravitazionale φ scriveremo:

Pertanto tra potenziale e densità c'è una relazione lineare.

Quesito b
Ricordiamo l'equazione di Poisson

dove G è la costante di gravitazione universale. Dalla relazione lineare tra φ e ρ si ottiene:

la cui condizione al contorno è ρ=0 al bordo dell'oggetto.

Quesito c
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Pulsar del Granchio (esercizio di Meccanica razionale)

domenica, Settembre 5th, 2021

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.
Esercizio

a)Un oggetto sferico ruota con una frequenza angolare ω. Se la sola forza capace di prevenire la sua disintegrazione è la gravità, quale dovrebbe essere la sua minima densità?
Questo ci consente di stimare la densità minima della pulsar Crab, la quale ruota alla frequenza di 30 rotazioni al secondo. Essa è quanto rimane di una supernova ampiamente osservata in Cina nel 1504.
b) Se la massa della pulsar fosse circa 1 massa solare (~2·10³°kg ) quale dovrebbe essere il suo massimo raggio possibile?

Soluzione
Quesito a.

Consideriamo il caso limite in cui la pulsar, massa M, sta per disintegrarsi. Supponiamo la presenza di un corpo campione, massa m, posto all'equatore della pulsar. La sua forza centripeta è