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Introduzione all'equazione di Lane-Emden

Novembre 10th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Esercizi di Meccanica dei fluidi elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

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Esercizio

Un ipotetico fluido ha la seguente equazione di stato

dove p e ρ sono rispettivamente pressione e densità, mentre K è una costante.

a) Mostrare che in certe condizioni di equilibrio esiste una relazione tra densità e potenziale gravitazionale;
b) scrivere un'equazione differenziale che, in condizioni di equilibrio, sia risolta dalla densità;
c) assumendo una simmetria sferica, calcolare il raggio dell'oggetto astronomico.

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Soluzione
Quesito a

Si supponga che sul fluido agisca una forza F. Consideriamo l'equilibrio di un elemento di volume dV=dxdydz. In direzione dell'asse x l'equilibrio delle forze è dato da:

Poiché F è la forza per unità di volume, chiamiamo f la forza per unità di massa: f=F/ρ. Dall'equazione di stato della pressione possiamo scrivere

Se la forza esterna è dovuta ad un potenziale gravitazionale φ scriveremo:

Pertanto tra potenziale e densità c'è una relazione lineare.

Quesito b
Ricordiamo l'equazione di Poisson

dove G è la costante di gravitazione universale. Dalla relazione lineare tra φ e ρ si ottiene:

la cui condizione al contorno è ρ=0 al bordo dell'oggetto.

Quesito c

Per la simmetria sferica, l'equazione precedente in
che è un caso particolare dell'equazione di Lane-Emden. Posto

avremo

la cui soluzione è

dalla quale si ottiene:

La condizione al contorno è ρ=0 per r=R raggio dell'oggetto sferico, il che richiede

La densità è sempre positiva; dunque

Consideriamo

essendo e_r il versore radiale. Segue

In virtù della simmetria è f=0 per r=0. Poniamo

e ricordiamo lo sviluppo in serie

Perciò

Quindi ß=0 e ωR=π che danno

Tags: densità, equazione di Lane-Emden, potenziale gravitazionale

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