Introduzione all'equazione di Lane-Emden

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Introduzione all'equazione di Lane-Emden

mercoledì, Novembre 10th, 2021

equazione di Lane-Emden, potenziale gravitazionale,densità — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica dei fluidi elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Un ipotetico fluido ha la seguente equazione di stato

dove p e ρ sono rispettivamente pressione e densità, mentre K è una costante.

a) Mostrare che in certe condizioni di equilibrio esiste una relazione tra densità e potenziale gravitazionale;
b) scrivere un'equazione differenziale che, in condizioni di equilibrio, sia risolta dalla densità;
c) assumendo una simmetria sferica, calcolare il raggio dell'oggetto astronomico.

Soluzione
Quesito a

Si supponga che sul fluido agisca una forza F. Consideriamo l'equilibrio di un elemento di volume dV=dxdydz. In direzione dell'asse x l'equilibrio delle forze è dato da:

Poiché F è la forza per unità di volume, chiamiamo f la forza per unità di massa: f=F/ρ. Dall'equazione di stato della pressione possiamo scrivere

Se la forza esterna è dovuta ad un potenziale gravitazionale φ scriveremo:

Pertanto tra potenziale e densità c'è una relazione lineare.

Quesito b
Ricordiamo l'equazione di Poisson

dove G è la costante di gravitazione universale. Dalla relazione lineare tra φ e ρ si ottiene:

la cui condizione al contorno è ρ=0 al bordo dell'oggetto.

Quesito c
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[Nana bianca] Energia dello stato fondamentale del gas di elettroni relativistici

venerdì, Febbraio 28th, 2020

nana bianca,gas di elettroni relativistici degenere,impulso di fermi — **Fig. 1**

Per esplicitare questa condizione di equilibrio dobbiamo determinare separatamente l'energia E₀ e la self energia gravitazionale V_G(R). Iniziamo a determinare la prima grandezza.
Nel nostro modello abbiamo N elettroni nello stato fondamentale. Dal momento che il moto è relativistico, l'hamiltoniana di singola particella è

Si noti che non stiamo considerando campi esterni, giacché il campo gravitazionale è inglobato nel termine V_{G}(R) che poi andremo a calcolare separatamente. Abbiamo già calcolato in precedenza l'impulso di Fermi: