Curve Theory. Existence and Uniqueness

venerdì, Dicembre 4th, 2020

Il Teorema di Frenet (nel piano!) ci consente di enunciare e dimostrare un teorema di esistenza ed unicità di una curva, nel senso che tale luogo geometrico è univocamente determinato da una funzione "curvatura" k(s), e dalla conoscenza del versore tangente e del versore normale in un punto di ascissa curvilinea assegnata.
Ciò è una conseguenza del teorema di Frenet, in quanto le omonime equazioni possono essere combinate in modo da dar luogo a un'equazione differenziale (vettoriale) del secondo ordine nel versore tangente in funzione di s. Da qui si capisce che esistenza ed unicità della soluzione t(s) - dove t(s) è il versore tangente, derivano dal famoso teorema di Cauchy-Lipschitz. L'unicità di t(s) implica l'unicità della curva perché si passa alla rappresentazione naturale x(s) integrando t(s). "Apparentemente" sembrano esistere infinite curve o ciò che è lo stesso una sola curva, a meno di una traslazione e di una rotazione nel piano. In realtà, se fissiamo l'ascissa curvilinea s₀ in cui assegnamo le nostre condizioni iniziali, la curva risulta essere unica.

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