Limite di una funzione reale di una variabile reale. Convergenza

giovedì, Febbraio 11th, 2021

Un esperimento con la calcolatrice

Consideriamo la funzione reale di una variabile reale:

il cui insieme di definizione è X=R-{1}. La funzione è dunque definita su tutto l'asse reale, escluso il punto x0=1. Incidentalmente, se proviamo a calcolare il valore assunto da f in x0, la sua espressione analitica restituisce 0/0 che è una cosiddetta forma indeterminata (o forma di indeterminazione) in quanto l'eventuale risultato dipende dalla funzione considerata. Procuriamoci allora una calcolatrice e andiamo a calcolare i valori assunti dalla funzione in punti prossimi a x0. Ad esempio, per x=1.1, otteniamo:

Avviciniamoci ulteriormente al punto x0:

e così via. Ripetiamo ora lo stesso procedimento per x < 1:

e così via.
Da tali risultati si deduce che possiamo rendere arbitrariamente piccola la differenza |f(x)-2| a patto di avvicinarci sufficientemente a x0=1.

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[¯|¯] Limite di una funzione vettoriale di una variabile vettoriale (convergenza)

mercoledì, Febbraio 5th, 2020

La definizione di limite di una funzione reale di una variabile reale si estende immediatamente alle funzioni vettoriali, a patto di fornire una definizione operativa di intorno di un vettore. Precisamente, se f(x) è definita in un sottoinsieme V di un assegnato spazio vettoriale, preso ad arbitrio un punto/vettore x₀, definiamo un intorno sferico di raggio ε:

Siamo interessati al caso in cui x₀ è di accumulazione per V, e dal momento che può non appartenere all'insieme di definizione, bisogna ridefinire la disuguaglianza come segue