Limite di una funzione reale di una variabile reale. Convergenza |

Limite di una funzione reale di una variabile reale. Convergenza

Febbraio 11th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Un esperimento con la calcolatrice

Consideriamo la funzione reale di una variabile reale:

il cui insieme di definizione è X=R-{1}. La funzione è dunque definita su tutto l'asse reale, escluso il punto x0=1. Incidentalmente, se proviamo a calcolare il valore assunto da f in x0, la sua espressione analitica restituisce 0/0 che è una cosiddetta forma indeterminata (o forma di indeterminazione) in quanto l'eventuale risultato dipende dalla funzione considerata. Procuriamoci allora una calcolatrice e andiamo a calcolare i valori assunti dalla funzione in punti prossimi a x0. Ad esempio, per x=1.1, otteniamo:

Avviciniamoci ulteriormente al punto x0:

e così via. Ripetiamo ora lo stesso procedimento per x < 1:

e così via.
Da tali risultati si deduce che possiamo rendere arbitrariamente piccola la differenza |f(x)-2| a patto di avvicinarci sufficientemente a x0=1.

Definizione di limite

Dopo questa introduzione per così dire, numerica, formuliamo una definizione più rigorosa. Sia f:X->R. Se x0 è punto di accumulazione, esistono punti di X arbitrariamente vicini a x0, per cui si apre il problema di studiare il comportamento della funzione f nelle "immediate vicinanze" di x0 (più rigorosamente, in un intorno del predetto punto). È chiaro che è necessario distinguere i due casi: 1) la funzione è definita in x0; 2) la funzione non è definita in x0 (che è comunque punto di accumulazione per l'insieme di definizione di f). Sussite, dunque, la seguente definizione:
Definizione
La funzione f è convergente in x0, se esiste un numero reale l tale che:
Comunque prendiamo un intorno J_ε di l i.e. J_ε=(l-ε,l+ε), possiamo associare un intorno I_{δ_ε} di x0 i.e. I_{δ_ε}=(x0-δ_ε,x0+δ_ε) in modo che i valori assunti da f nei punti del predetto intorno distinti da x0, appartengano a J_ε. In simboli:

o ciò che è lo stesso:

Il numero reale l si chiama il limite della funzione in x0. Si dice che la funzione f converge (o tende a l) per x che tende a x0 (o per x tendente a x0.
La predetta definizione è compattata in una delle due scritture simboliche

Interpretazione geometrica

La definizione di convergenza ha un'immediata interpretazione geometrica come vediamo negli esempi seguenti.

An experiment with the calculator

Let us consider the real function of a real variable:

whose definition set is X = R- {1}. The function is therefore defined on the whole real axis, excluding the point x0 = 1. Incidentally, if we try to calculate the value assumed by f in x0, its analytic expression returns 0/0 which is a so-called indeterminate form (or form of indeterminacy ) as the possible result depends on the function considered. So let's get a calculator and let's calculate the values assumed by the function in points close to x0. For example, for x = 1.1, we get:

Let's get closer to x0:

and so on. Now we repeat the same procedure for x < 1:

and so on.
From these results we deduce that we can make the difference |f(x)-2| arbitrarily small provided we get close enough to x0 = 1.

Definition of limit

After this introduction, so to speak, numerically, we formulate a more rigorous definition. Let f: X-> R. If x0 is an accumulation point, there are points of X arbitrarily close to x0, for which the problem arises of studying the behavior of the function f in the "immediate vicinity" of x0 (more strictly, in a neighborhood of the aforesaid point). It is clear that it is necessary to distinguish the two cases: 1) the function is defined at x0; 2) the function is not defined in x0 (which is in any case an accumulation point for the defining set of f). Therefore, subsume the following definition:

Definition
The function f is convergent in x0, if there exists a real number l such that:
However we take a neighborhood J_ε of l i.e. Jε = (l- ε, l + ε), we can associate a neighborhood I_{δ_ε} of x0 i.e. I_{δ_ε}=(x0-δ_ε,x0+δ_ε) in so that the values assumed by f in the points of the predicted neighborhood distinct from x0, belong to J_ε. In symbols:

or what is the same:

The real number l is called the limit of the function at x0. It is said that the function f converge (or tends to l) for x tending to x0 (or per x tending to x0.
The aforementioned definition is compacted in one of the two symbolic writings