Serie numeriche. Definizioni e prime proprietà

martedì, Ottobre 5th, 2021

serie numeriche,convergenza,somma,serie geometrica

Assegnata una successione di elementi di R:

la notazione

rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri u₀,u₁,...,u_n,.... Per assegnare un significato al simbolo

procediamo con un'operazione di passaggio al limite, definendo dapprima la somma parziale di ordine N:

quale elemento della successione di elementi di R:

È intuitivamente ovvio che il significato del simbolo con la sommatoria da 0 a +oo, è univocamente determinato dal comportamento all'infinito della successione delle somme parziali. Diremo, dunque, che il predetto simbolo è una serie numerica o semplicemente, una serie.
Definizione
La serie assegnata è convergente se tale è la successione delle somme parziali. Cioè se

Il numero reale S è la somma della serie e si scrive:

La serie assegnata è divergente se tale è la successione delle somme parziali. Cioè se

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Funzione convergente in modulo, ma non implica necessariamente la convergenza

lunedì, Febbraio 15th, 2021

convergenza,convergenza in modulo,limite — **Fig. 1**

Per una funzione che tende a un limite finito (ovvero che converge) ci si può chiedere: converge anche in modulo?. Cioè, il valore assoluto della funzione converge? Intanto dimostriamo la proposizione inversa, ossia se la funzione converge a un limite L, il suo valore assoluto converge al valore assoluto del limite (|L|). Ma non sempre è vero il viceversa, ad eccezione del caso ovvio L=0 (cioè quando la funzione è infinitesima per x che tende al punto di accumulazione considerato). Proponiamo un controesempio (fig. 1) di una funzione convergente in modulo ma che non converge ad alcun limite.

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