In più variabili la derivabilità non implica la continuità

domenica, Gennaio 10th, 2021

derivabilità,continuità,funzioni di più variabili
Fig. 1


Nel caso di funzioni di una variabile, la derivabilità in un punto è condizione sufficiente per la continuità nello stesso punto. Di contro, per una funzione di più variabili, l'esistenza delle derivate parziali del primo ordine in un assegnato punto non implica la continuità. Ad esempio, abbiamo visto che la funzione


non è continua in (0,0). Mostriamo che f è ivi derivabile. Le regole di derivazione restituiscono:

Per calcolare le derivate in (0,0) dobbiamo applicare la definizione di derivata (limite del rapporto incrementale). Ad esempio:

Ma

per cui


In the case of functions of one variable, the differentiability in a point is a sufficient condition for continuity in the same point. On the other hand, for a function of several variables, the existence of first order partial derivatives in a given point does not imply continuity. For example, we have seen that function


it is not continuous in (0,0). We show that f is differentiable there. The derivation rules return:

To calculate the derivatives in (0,0) we need to apply the definition of derivative (limit of the incremental ratio). For example:

But

for which

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[¯|¯] Funzioni vettoriali. Continuità

lunedì, Dicembre 9th, 2019

funzioni vettoriali,continuità
Fig. 1

Anche se è un argomento di Meccanica Razionale, vale la pena archiviarlo nella sezione Fisica generale 1. Stiamo parlando delle funzioni vettoriali di una variabile reale. È chiaro che il pensiero va subito ai vettori che variano in funzione del tempo. Non a caso in questa lezione abbiamo denominato con t l'usuale variabile reale. Immediata è l'estensione dei potenti metodi dell'Analisi matematica ovvero la nozione di limite e di funzione continua.
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